Bài 1
cho x,y,z>0 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ Chứng minh $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Bài 2
cho các số thực x,y thỏa mãn $9x^{2}+y^{2}=1$ Chứng minh
$\begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix}\leq \frac{\sqrt{10}}{3}$
Bài 3
Cho $x^{2}+4y^{2}=1$ Chứng minh $\begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix}\leq \frac{\sqrt{5}}{2}$
Bài 4
Cho x,y>0 thỏa mãn $x^{3}+y^{4}\leq x^{2}+y^{3}$ Chứng minh $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$
Bài 5
cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq 64$
Bài 1 : Đặt : $\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{a} & & \\ y=\sqrt{b} & & \\ z=\sqrt{c} & & \end{matrix}\right.$
Điều kiên của bài toán : $a+b+c$=1
ĐPCM $\Leftrightarrow \sum \frac{\sqrt{a}}{1-a}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Xét hàm : $f(u)=\frac{\sqrt{u}}{1-u}$ ( với $u<1$)
$\Rightarrow f^{''}(u)=\frac{-3u^{2}\sqrt{u}-3u\sqrt{u}+7\sqrt{u}-\frac{1}{\sqrt{u}}}{...}\geq 0$
Hay : $3t^{6}+3t^{4}-7t^{2}+1\geq 0$ ( trong đó $\sqrt{u}=t$ )
$\Leftrightarrow (t^{2}-\frac{2\sqrt{3}-3}{3})(t^{2}+\frac{2\sqrt{3}+3}{3})(t+1)(t-1)\geq 0$
$\Rightarrow \frac{2\sqrt{3}-3}{3} \leq u\leq 1$
mà $s=\frac{1}{3}\leq \frac{2\sqrt{3}-3}{3}$ nên $u\geq s=\frac{1}{3}$
nên ta được : $\left\{\begin{matrix} a\leq \frac{1}{3}\leq b=c & \\ a+2b=1 & \end{matrix}\right.$
Mặt khác $f^{'}(a)\leq f^{'}(b)$ ( CM hơi dài )
Nên ta được : $VT=f(a)+f(b)+f(c)\geq 3f(\frac{a+b+c}{3})\geq 3f(\frac{1}{3})=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ( ĐPCM)
