Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$(a+b+c).(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$

toán trung học cơ sở bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Takamina Minami

Takamina Minami

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Secret
  • Sở thích:Nghe nhạc

Đã gửi 09-02-2015 - 21:03

 1. Với $a,b,c \in \left [ 1;2 \right ]$

 CM: $(a+b+c).(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Takamina Minami: 09-02-2015 - 21:06

tumblr_mvk1jxSuSL1r3ifxzo1_250.gif


#2 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 09-02-2015 - 21:52

 1. Với $a,b,c \in \left [ 1;2 \right ]$

 CM: $(a+b+c).(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$ (*)

 

 

$(a + b + c)(\frac {1}{a} + \frac {1}{b} + \frac {1}{c})$
= $\frac {a}{b} + \frac {a}{c} + \frac {b}{a} + \frac {b}{c} + \frac {c}{a} + \frac {c}{b} \le 7$ (**)
Không giảm tính tổng quát, ta giả sử: $1 \le a \le b \le c \le 2$
=>$(a - b)(b - c) \ge 0$
<=>$ab + bc \ge b^2 + ac$ (***)
Chia 2 vế của (***) cho $bc$ : $\frac {a}{c} + 1 \ge \frac {b}{c} + \frac {a}{b}$ (1)
Chia 2 vế của (***) cho $ab$ : $\frac {c}{a} + 1 \ge \frac {b}{a} + \frac {b}{c}$ (2)
Lấy (1) + (2):
$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} + \frac a{c} + \frac c{a} \le 2 + 2(\frac a{c} + \frac c{a})$ (3)
Đó giả thiết: $1 \le a \le c \le 2$ nên $1 \le \frac c{a} \le 2$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac c{a} - 2 \le 0 \\ \frac{c}{a}-\frac{1}{2}\geq 0 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (\frac c{a} - \frac 1{2})(\frac c{a} - 2) \le 0$
$\Leftrightarrow (\frac c{a})^2 - (\frac 5{2})(\frac c{a}) +1 \le 0$
$\Leftrightarrow \frac c{a} + 1 \le \frac 5{2}$
$\Leftrightarrow \frac c{a} + \frac a{c} \le \frac 5{2}$.

Thay vào (3), ta có:
$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} \le 2 + 2(\frac 5{2})$
$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} \le 7$ suy ra (**) đúng hay (*) đúng



#3 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 09-02-2015 - 21:53

Bài toán mạnh hơn bài trên là 

 

Với $a,b,c \in \left [ 1;2 \right ]$

CM: $(a+b+c).(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq \frac{81}{8}$



#4 the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Y Hà Nội
  • Sở thích:Nhiều

Đã gửi 09-02-2015 - 22:05

Giả sử $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$

Khi đó $(1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c})+(1-\frac{b}{a})(1-\frac{c}{b})\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\leq 2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}$

Mặt khác vì $1\leq a\leq c\leq 2\Rightarrow \frac{1}{2}\leq \frac{a}{c}\leq 2\Rightarrow (2-\frac{a}{c})(2-\frac{c}{a})\leq 0\Leftrightarrow \frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq 5$

$\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\leq 3+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\leq 10$

Dấu "=" xảy ra khi hai trong ba số bằng 2, số kia bằng 1


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#5 VASILE CIRTOAJE

VASILE CIRTOAJE

    Binh nhất

  • Banned
  • 21 Bài viết

Đã gửi 11-03-2015 - 21:36

trong stbdt của phạm kim hùng có







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: toán trung học cơ sở, bất đẳng thức

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh