Bài 4. Trên bảng đen ban đầu người ta cho sẵn ma trận $A_0=\left(\begin{matrix} 2 & -1 \cr 1 &0 \cr\end{matrix}\right)$. Sau đó một sinh viên được yêu cầu viết thêm lên bảng $10$ ma trận $A_1, A_2,\ldots , A_{10}$ đều có các phần tử nguyên sao cho $A_kA_0=A_0A_k, A_k^2\ne 0$ với mọi $k=1, 2,\ldots, 10$.
\sn
a) Hãy chỉ ra rằng sinh viên đó có thể lựa chọn các ma trận theo đúng yêu cầu trên sao cho chúng cũng thỏa mãn đẳng thức:
$$ A_0^2+A_1^2+\ldots+A_{10}^2= \left(\begin{matrix} 125 & -100 \cr 100 & -75 \cr\end{matrix}\right).$$
b) Sinh viên đó có thể lựa chọn được các ma trận như thế để đẳng thức sau
$$ A_0^2+A_1^2+\ldots+A_{10}^2= \left(\begin{matrix} 115 & -100 \cr 100 & -85 \cr\end{matrix}\right)$$
cũng xảy ra hay không?
Lời giải:
Để thuận tiện ta đặt $M=\left(\begin{matrix} 1 & -1 \cr 1 &1 \cr\end{matrix}\right)$. Khi đó ta có các đẳng thức $A_0=I+M$ và $M^2=0$. Từ giả thiết ta có $A_k(I+M)=(I+M)A_k$ nên $A_kM=MA_k$. Mặt khác mọi ma trận giao hoán với $M$ đều có dạng $\alpha I+\beta M$ nên ta suy ra rằng tồn tại các số $\alpha_k, \beta_k$ sao cho
$$ A_k=\alpha_k I+\beta_k M= \left(\begin{matrix} \alpha_k+\beta_k & -\beta_k \cr \beta_k & \alpha_k-\beta_k \cr\end{matrix}\right), \ \ \ k=1, 2,\ldots, 10.$$
Vì các ma trận $A_k$ đều có phần tử nguyên nên ta suy ra $\alpha_k, \beta_k \in \mathbb{Z} $ với mọi $k=1, 2,\ldots, 10$. Do $M^2=0$ nên ta có
$$ A_k^2=(\alpha_k I+\beta_k M)^2=\alpha_k^2 I+2\alpha_k.\beta_kM,\ \ \forall \, k.$$
Từ đó ta thu được đẳng thức
$$ A_0^2+A_1^2+\ldots+A_{10}^2 =(1+\alpha_1^2+\alpha_2^2+\ldots+\alpha_{10}^2)I+ 2(1+\alpha_1\beta_1+\alpha_2\beta_2+\ldots+\alpha_{10}\beta_{10})M. $$
Mặt khác do $A_k^2\ne 0$ nên ta phải có $\alpha_k\ne 0$ với mọi $k=1, 2,\ldots, 10$.
a) Ta thấy rằng $\left(\begin{matrix} 125 & -100 \cr 100 & -75 \cr\end{matrix}\right)=25I+100M$. Do đó việc thực hiện yêu cầu của đề bài quy về việc chỉ ra rằng có thể chọn được hai dãy số nguyên $(\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_{10})$; $(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{10})$ sao cho $\alpha_k\ne 0$ với mọi $k=1, 2,\ldots, 10$ và đẳng thức sau xảy ra:
$$ (1+\alpha_1^2+\alpha_2^2+\ldots+\alpha_{10}^2)I+ 2(1+\alpha_1\beta_1+\alpha_2\beta_2+\ldots+\alpha_{10}\beta_{10})M = 25I+100M. $$
Do $\{I, M\}$ là hệ độc lập tuyến tính trong không gian ${\cal M}_2$ nên từ đẳng thức trên ta nhận được hệ phương trình
$$ \begin{cases}
\alpha_1^2+\alpha_2^2+\ldots+\alpha_{10}^2=24\\ \alpha_1\beta_1+\alpha_2\beta_2+\ldots+\alpha_{10}\beta_{10}=49
\end{cases} $$
Ta chọn một nghiệm cho phương trình thứ nhất của hệ như sau: $\alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_7=1, \alpha_8=\alpha_9=2, \alpha_{10}=3$. Với dãy $(\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_{10})$ được chọn như thế phương trình thứ hai của hệ trở thành
$$ \beta_1+\beta_2+\ldots+\beta_7+2\beta_8+2\beta_9+3\beta_{10}=49. $$
Phương trình này có vô số nghiệm nguyên, ta có thể chọn ra một nghiệm là $\alpha_1=49, \alpha_2=\alpha_2=\ldots=\alpha_{10}=0$. Từ hai dãy số nguyên $(\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_{10})$; $(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{10})$ được chọn ta tính được các ma trận $A_1, A_2, \ldots, A_{10}$ tương ứng.
b) Ta thấy rằng $\left(\begin{matrix} 115 & -100 \cr 100 & -85 \cr\end{matrix}\right)=15I+100M$. Phân tích tương tự câu a ta quy về công việc xác định rằng: hệ phương trình sau
$$ \begin{cases}
\alpha_1^2+\alpha_2^2+\ldots+\alpha_{10}^2=14\\ \alpha_1\beta_1+\alpha_2\beta_2+\ldots+\alpha_{10}\beta_{10}=49
\end{cases} $$
có thể có nghiệm là hai dãy số nguyên $(\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_{10})$; $(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{10})$ mà $\alpha_k\ne 0$ với mọi $k=1, 2,\ldots, 10$ hay không?
Giả sử rằng hệ có nghiệm. Suy ra phương trình
\begin{equation}\tag{1} \alpha_1^2+\alpha_2^2+\ldots+\alpha_{10}^2=14 \end{equation}
có nghiệm là dãy $(\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_{10})$ mà $\alpha_k\ne 0$ với mọi $k=1, 2,\ldots, 10$. Ta thấy rằng đổi dấu các ma trận $A_k$ thì tổng
$$ A_0^2+A_1^2+\ldots+A_{10}^2$$
vẫn không đổi nên ta suy ra rằng phương trình $(1) $ có nghiệm nguyên dương.
Ta sẽ chỉ ra rằng điều này không thể xảy ra và không chọn được các ma trận theo yêu cầu. Thật vậy, do có thể đánh số lại các ma trận nên ta có thể giả thiết thêm rằng
\begin{equation}\tag{2} 1\le\alpha_1\le \alpha_2\le \ldots\le \alpha_{10}. \end{equation}
Ta thấy rằng $\alpha_1^2+\alpha_2^2+\ldots+\alpha_8^2\ge 8$ nên từ $(1)$ ta suy ra được
$$ 2\alpha_9^2\le \alpha_9^2+\alpha_{10}^2=14-(\alpha_1^2+\alpha_2^2+\ldots+\alpha_8^2)\le 14-8=6.$$
Suy ra $\alpha_9^2\le 3$. Do $\alpha_9^2$ là số chính phương nên ta suy ra $\alpha_9^2=1$ hay là $\alpha_9=1$. Sử dụng $(2)$ ta suy ra
$\alpha_1=\alpha_2=\ldots =\alpha_9=1$. Thế vào $(1)$ ta nhận được $\alpha_{10}^2=14-9=5$. Điều này không thể xảy ra vì $5$ không phải là số chính phương. Như vậy không lựa chọn được các ma trận $A_1, A_2,\ldots , A_{10}$ thỏa mãn yêu cầu.
