Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khongnhogi: 16-02-2015 - 07:39

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC MÔN ĐẠI SỐ ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI 2015
#1
Đã gửi 10-02-2015 - 04:01
- vo van duc, phudinhgioihan, quangbinng và 2 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 16-02-2015 - 07:04
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khongnhogi: 16-02-2015 - 07:44
#3
Đã gửi 16-02-2015 - 07:22
- E. Galois yêu thích
#4
Đã gửi 16-02-2015 - 07:38
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khongnhogi: 16-02-2015 - 07:43
- E. Galois, motdaica và nhungvienkimcuong thích
#5
Đã gửi 16-02-2015 - 07:54
- E. Galois yêu thích
#6
Đã gửi 16-02-2015 - 08:01
- E. Galois yêu thích
#7
Đã gửi 29-05-2016 - 00:55
Em gửi nhầm ạ. Em xin lỗi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buixuantruong: 29-05-2016 - 01:00
#8
Đã gửi 21-06-2016 - 10:24
Bài 5. Hãy cho biết tồn tại hay không đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên sao cho $P(1)=P(2)=P(3)=2015$ và $P(2015)=123$.Lời giải:Giả sử rằng tồn tại đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên sao cho $P(1)=P(2)=P(3)=2015$ và $P(2015)=123$. Do $P(1)=2015$ nên đa thức $P(x)-2015$ có nghiệm là $x=1$. Suy ra tồn tại đa thức $Q(x)$ sao cho\begin{equation}\tag{1} P(x)-2015=(x-1)Q(x).\end{equation}Do $P(x)$ là đa thức có hệ số nguyên nên ta cũng suy ra đa thức $Q(x)$ cũng có hệ số nguyên. Thế $x=2$ vào hai vế của $(1)$ và sử dụng $P(2)=2015$ ta nhận được $ Q(2)=0 $. Suy ra tồn tại đa thức $R(x)$ sao cho$$ Q(x)=(x-2)R(x), $$và ta cũng suy ra rằng đa thức $R(x)$ có hệ số nguyên. Thế vào $(1)$ ta nhận được đẳng thức\begin{equation}\tag{2} P(x)-2015=(x-1)(x-2)R(x).\end{equation}Tiếp tục sử dụng $P(3)=2015$ và phân tích tương tự ta khẳng định được rằng tồn tại đa thức $S(x)$ có hệ số nguyên sao cho\begin{equation}\tag{3} P(x)-2015=(x-1)(x-2)(x-3)S(x).\end{equation}Thế $x=2015$ vào hai vế của $(3)$ và sử dụng $P(2015)=123$ ta nhận được đẳng thức\begin{equation}\tag{4} -1892=2013.2014.2015.S(2015). \end{equation}Đẳng thức này không thể xảy ra vì $S(2015)$ là số nguyên và do đó vế phải của $(4)$ là một bội số nguyên của $3$ trong khi vế trái là $-1892$ không chia hết cho $3$. Như vậy không tồn tại đa thức đáp ứng được các điều kiện đã nêu.
Tại sao người ta cho bài này "yếu quá" hay có sự nhầm lẫn trong việc gõ đề?
(Đa thức nguyên/ đa thức hệ số nguyên?)
Vì $P(b)-P(a) \vdots (b-a)$ với $a, b \in \mathbb{Z}$ nên
$123-2015= P(2015)-P(1) \vdots 2014$ (vô lý).
Đời người là một hành trình...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh