Bài 1
cho x,y,z>0 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ Chứng minh $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Bài 2
cho x,y,z>0 thỏa mãn $xyz=1$ Chứng minh $\frac{1}{x^{3}(y+z)}+\frac{1}{y^{3}(x+z)}+\frac{1}{z^{3}(x+y)}\geq \frac{3}{2}$
Bài 1 : Ta có $\frac{x}{y^2+z^2}= \frac{x}{1-x^2}\geq \frac{3\sqrt{3}x^2}{2}$ bằng biến đổi tương đương.
Làm tương tự 2 cái kia rồi cộng lại là xong
Bài 2 : Theo Bunhia và $xyz=1$,Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c= > abc=1$ ta có :
$\sum \frac{1}{x^3(y+z)}=\sum \frac{a^3}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\sum \frac{a^3bc}{b+c}=\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{(\sum a)^2}{2\sum a}=\frac{\sum a}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$