Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{1}{x^{3}(y+z)}+\frac{1}{y^{3}(x+z)}+\frac{1}{z^{3}(x+y)}\geq \frac{3}{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
yeutoanmaimai1

yeutoanmaimai1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết

Bài 1

cho x,y,z>0 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ Chứng minh $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài 2

cho x,y,z>0 thỏa mãn $xyz=1$ Chứng minh $\frac{1}{x^{3}(y+z)}+\frac{1}{y^{3}(x+z)}+\frac{1}{z^{3}(x+y)}\geq \frac{3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoanmaimai1: 10-02-2015 - 20:19


#2
JayVuTF

JayVuTF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Bài 1

cho x,y,z>0 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ Chứng minh $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

AD cauchy
$a^2.(1-a^2)^2=\dfrac{1}{2}.2a^2.(1-a^2).(1-a^2) \leq \dfrac{1}{2}.(\dfrac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3})^3=\dfrac{4}{27}$
$\Leftrightarrow   a.(1-a^2) \leq \dfrac{2}{3\sqrt{3}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{ a.(1-a^2)} \geq  \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
$\Leftrightarrow  \dfrac{a^2}{a.(1-a^2)} \geq \dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{b^2+c^2}\geq\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}$
TT\Rightarrow dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JayVuTF: 11-02-2015 - 19:27


#3
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Bài 1

cho x,y,z>0 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ Chứng minh $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài 2

cho x,y,z>0 thỏa mãn $xyz=1$ Chứng minh $\frac{1}{x^{3}(y+z)}+\frac{1}{y^{3}(x+z)}+\frac{1}{z^{3}(x+y)}\geq \frac{3}{2}$

Bài 1 : Ta có $\frac{x}{y^2+z^2}= \frac{x}{1-x^2}\geq \frac{3\sqrt{3}x^2}{2}$ bằng biến đổi tương đương.

 

 Làm tương tự 2 cái kia rồi cộng lại là xong

 

Bài 2 : Theo Bunhia và $xyz=1$,Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c= > abc=1$ ta có :

 

 $\sum \frac{1}{x^3(y+z)}=\sum \frac{a^3}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\sum \frac{a^3bc}{b+c}=\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{(\sum a)^2}{2\sum a}=\frac{\sum a}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh