Đến nội dung

Hình ảnh

$x^{2} - y^{3} = 7$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Dung Du Duong

Dung Du Duong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 425 Bài viết

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

$x^{2} - y^{3} = 7$


              

              

                                                                               

 

 

 

 

 

 

 


#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 675 Bài viết

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

$x^{2} - y^{3} = 7$

đây là một bài toán khá quen thuộc

nếu $y$ chẵn thì $x^2\equiv y^3+7\equiv 7(mod\ 8)$ 

điều nầy vô lí dẫn đến $y$ lẻ

phương trình ban đầu tương đương $x^2+1=(y+2)(y^2-2y+4)$

$\blacksquare$ với $y=4k+1$

thì $y+2\equiv 3(mod\ 4)$

$\blacksquare$ với $y=4k+3$

thì $y^2-2y+4\equiv 3(mod\ 4)$

vậy ở mọi trường hợp thì $y^3+8$ đều có ước nguyên tố dạng $p=4t+3$

$\Rightarrow p\mid x^2+1\Rightarrow p\mid 1$

điều này vô lí do đó phương trình vô nghiệm

 

U-Th


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#3
eminemdech

eminemdech

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

đây là một bài toán khá quen thuộc

nếu $y$ chẵn thì $x^2\equiv y^3+7\equiv 7(mod\ 8)$ 

điều nầy vô lí dẫn đến $y$ lẻ

phương trình ban đầu tương đương $x^2+1=(y+2)(y^2-2y+4)$

$\blacksquare$ với $y=4k+1$

thì $y+2\equiv 3(mod\ 4)$

$\blacksquare$ với $y=4k+3$

thì $y^2-2y+4\equiv 3(mod\ 4)$

vậy ở mọi trường hợp thì $y^3+8$ đều có ước nguyên tố dạng $p=4t+3$

$\Rightarrow p\mid x^2+1\Rightarrow p\mid 1$

điều này vô lí do đó phương trình vô nghiệm

 

U-Th

Cho mình hỏi tại sao y chẵn thì $$x^2\equiv y^3+7\equiv 7(mod\ 8)$$



#4
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 675 Bài viết

Cho mình hỏi tại sao y chẵn thì $$x^2\equiv y^3+7\equiv 7(mod\ 8)$$

$y$ chẵn thì $y=2u$ thì $y^3=8u^3\equiv 0(mod \ 8)\Rightarrow y^3+7\equiv 7(mod\ 8)\Rightarrow x^2\equiv 7(mod \ 8)$

 

U-Th


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#5
eminemdech

eminemdech

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

$y$ chẵn thì $y=2u$ thì $y^3=8u^3\equiv 0(mod \ 8)\Rightarrow y^3+7\equiv 7(mod\ 8)\Rightarrow x^2\equiv 7(mod \ 8)$

 

U-Th

cám ơn bạn tại mình mới học đồng dư nên chưa rành lắm



#6
eminemdech

eminemdech

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

$y$ chẵn thì $y=2u$ thì $y^3=8u^3\equiv 0(mod \ 8)\Rightarrow y^3+7\equiv 7(mod\ 8)\Rightarrow x^2\equiv 7(mod \ 8)$

 

U-Th

Sẵn tiện bạn giảng thêm tại sao điều $x^2\equiv y^3+7\equiv 7(mod8)$ lại vô lí



#7
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Sẵn tiện bạn giảng thêm tại sao điều $x^2\equiv y^3+7\equiv 7(mod8)$ lại vô lí

Xét $x=8k \Rightarrow x^2\equiv 0(mod8)$

Xét $x=8k\pm 1 \Rightarrow x^2\equiv 1(mod8)$

Xét $x=8k\pm 2 \Rightarrow x^2\equiv 4(mod8)$

Xét $x=8k\pm 3 \Rightarrow x^2\equiv 1(mod8)$

Xét $x=8k+4 \Rightarrow x^2\equiv 0(mod8)$

Vậy số chính phương thì chia 8 dư 0;1;4 nên $x^2\equiv 7(mod8)$ là điều vô lí






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh