Chủ đề này có 2 trả lời

[Truong Gia Bao]

Cho $\bigtriangleup ABC$ nhọn và $O$ là 1 điểm nằm trong tam giác. Các tia $AO,BO,CO$ lần lượt cắt $BC,AC,AB$ tại $M$,$N$,$P$. Chứng minh $\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\geq 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 13-02-2015 - 01:13

[chatditvit]

Ta có:

$\frac{AM}{OM}=\frac{S(ABM)}{S(BOM)}=\frac{S(AMC)}{S(BOC)}=\frac{S(ABC)}{S(BOC)}=\frac{S(AOB)+S(AOC)+S(BOC)}{S(BOC)}=\frac{S(AOB)}{S(BOC)}+\frac{S(AOC)}{S(BOC)}+1$ (1)

 

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

 

$\frac{BN}{ON}=\frac{S(AOB)}{S(AOC)}+\frac{S(BOC)}{S(AOC)}+1$ (2) và $\frac{CP}{OP}=\frac{S(AOC)}{S(AOB)}+\frac{S(BOC)}{S(AOB)}+1$ (3). Cộng 3 vế của đẳng thức (1), (2), (3), ta có:

     

$\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}=[\frac{S(AOB)}{S(BOC)}+\frac{S(BOC)}{S(AOB)}]+[\frac{S(BOC)}{S(AOC)}+\frac{S(AOC)}{S(BOC)}]+[\frac{S(AOC)}{S(AOB)}+\frac{S(AOB)}{S(AOC)}]+3 \geq 2.3+3=9 \rightarrow Q.E.D$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chatditvit: 13-02-2015 - 08:30

[Hoang Long Le]

Cho $\bigtriangleup ABC$ nhọn và $O$ là 1 điểm nằm trong tam giác. Các tia $AO,BO,CO$ lần lượt cắt $BC,AC,AB$ tại $M$,$N$,$P$. Chứng minh $\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\geq 9$

Ta có:

$\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{BOA}}{S_{ABC}}=1$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-sy:  $\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\geq \frac{9}{\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}}=9$

Dấu ''='' xảy ra khi tam giác ABC là tam giác đều