Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ a^2+b^2+c^2=12$.

CMR:

$\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{8}{a^2+28}$

[dogsteven]

Chú ý là $a+b+c\leqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=6$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\sum \dfrac{1}{b+c}\geqslant \sum \dfrac{2}{2a+b+c} \geqslant \sum \dfrac{2}{a+6}$

Do đó ta cần chứng minh $\sum \left(\dfrac{1}{a+6}-\dfrac{4}{a^2+28}\right) \geqslant 0 \Leftrightarrow \sum \dfrac{(a-2)^2}{(a+6)(a^2+28)} \geqslant 0$ luôn đúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=2$

[shinichikudo201]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ a^2+b^2+c^2=12$.

CMR:

$\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{8}{a^2+28}$

$\sum \frac{8}{a^2+28}= \sum \frac{8}{a^2+(a^2+b^2+c^2)+16}= \sum \frac{8}{(2a^2+8)+(b^2+4)+(c^2+4)}\leq \sum \frac{8}{8a+4b+4c}= \sum \frac{2}{2a+b+c}$

Do đó ta quy BĐT về chứng minh:

$\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{2}{2a+b+c}$

Điều này luôn đúng theo BĐT $Schwarz$ :

$\sum \frac{1}{a+b}= \frac{1}{2}\sum (\frac{1^2}{a+b}+\frac{1^2}{b+c})\geq \frac{1}{2}\sum \frac{(1+1)^2}{a+b+b+c}= \sum \frac{2}{a+2b+c} (đpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 14-02-2015 - 22:09