1,Tìm GTNN của $x^{100}-10x^{10}+10$
3, Cho$a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=27$ Tìm GTNN của $S=a^{3}+b^{3}+c^{3}$
4, Cho $x,y,z$ thỏa $1\leq x,y,z\leq 2$ Tìm GTLN của $A=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
1. $x^{100}-10x^{10}+10=(x^{10}-5)^2-15\geq -15$
Dấu "=" xảy ra khi $x=\sqrt[10]5$
3. Ta có: $a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=9$
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
$(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}\geq \frac{27^2}{9}=81$
Vậy $S_{min}=81$ khi $a=b=c=3$
4. Giả sử $1\le x\le y\le z\le 2$ ta có:
$(1-\frac{x}{y})(1-\frac{y}{z})+(1-\frac{y}{x})(1-\frac{z}{y})\geq 0\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}$
Lại có: $1\leq x\leq z\leq 2\Rightarrow \frac{1}{2}\leq \frac{x}{z}\leq 2\Rightarrow (\frac{x}{z}-\frac{1}{2})(\frac{x}{z}-2)\leq 0\Leftrightarrow 0\geq (\frac{x}{z})^2-\frac{5}{2}.\frac{x}{z}+\frac{x}{z}.\frac{z}{x}\Leftrightarrow \frac{5}{2}\geq \frac{x}{z}+\frac{z}{x}$
Suy ra $A=3+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq 3+2+2.\frac{5}{2}=10$
Vậy $A_{max}=10\Leftrightarrow (x,y,z)\sim (2,2,1)\wedge (x,y,z)\sim(1,1,2)$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 15-02-2015 - 23:05