Chủ đề này có 6 trả lời

[yeutoanmaimai1]

1,Tìm GTNN của $x^{100}-10x^{10}+10$

2, Tìm $x,y,z$ nguyên dương để $P=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x+y+z}$ đạt GTNN

3, Cho$a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=27$ Tìm GTNN của $S=a^{3}+b^{3}+c^{3}$

4, Cho $x,y,z$ thỏa $1\leq x,y,z\leq 2$ Tìm GTLN của $A=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

5, Tìm GTNN của $Q=\frac{3}{x^{2}+2}-\frac{12}{x^{2}+5}$

[GeminiKid]

1,Tìm GTNN của $x^{100}-10x^{10}+10$

 

$dùng  bđt  AM-GM  cho  x^{100}+9\Rightarrow Min=1  khi  và  chỉ  khi  x= \pm 1$

[hoanglong2k]

1,Tìm GTNN của $x^{100}-10x^{10}+10$

3, Cho$a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=27$ Tìm GTNN của $S=a^{3}+b^{3}+c^{3}$

4, Cho $x,y,z$ thỏa $1\leq x,y,z\leq 2$ Tìm GTLN của $A=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

 

1. $x^{100}-10x^{10}+10=(x^{10}-5)^2-15\geq -15$

Dấu "=" xảy ra khi $x=\sqrt[10]5$

3. Ta có: $a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=9$

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:

$(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}\geq \frac{27^2}{9}=81$

Vậy $S_{min}=81$ khi $a=b=c=3$

4. Giả sử $1\le x\le y\le z\le 2$ ta có:

$(1-\frac{x}{y})(1-\frac{y}{z})+(1-\frac{y}{x})(1-\frac{z}{y})\geq 0\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}$

Lại có:  $1\leq x\leq z\leq 2\Rightarrow \frac{1}{2}\leq \frac{x}{z}\leq 2\Rightarrow (\frac{x}{z}-\frac{1}{2})(\frac{x}{z}-2)\leq 0\Leftrightarrow 0\geq (\frac{x}{z})^2-\frac{5}{2}.\frac{x}{z}+\frac{x}{z}.\frac{z}{x}\Leftrightarrow \frac{5}{2}\geq \frac{x}{z}+\frac{z}{x}$

Suy ra $A=3+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq 3+2+2.\frac{5}{2}=10$

Vậy $A_{max}=10\Leftrightarrow (x,y,z)\sim (2,2,1)\wedge (x,y,z)\sim(1,1,2)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 15-02-2015 - 23:05

[GeminiKid]

 

4. Giả sử $1\ge x\ge y\ge z\ge 2$ ta có:

$(1-\frac{x}{y})(1-\frac{y}{z})+(1-\frac{y}{x})(1-\frac{z}{y})\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}$

Lại có:  $1\leq x\leq z\leq 2\Rightarrow \frac{1}{2}\leq \frac{x}{z}\leq 2\Rightarrow (\frac{x}{z}-\frac{1}{2})(\frac{x}{z}-2)\leq 0\Leftrightarrow 0\geq (\frac{x}{z})^2-\frac{5}{2}.\frac{x}{z}+\frac{x}{z}.\frac{z}{x}\Leftrightarrow \frac{5}{2}\geq \frac{x}{z}+\frac{z}{x}$

Suy ra $A=3+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq 3+2+2.\frac{5}{2}=10$

Vậy $A_{max}=10\Leftrightarrow (x,y,z)\sim (2,2,1)$

(x,y,z)=(1,1,2) cũng làm cho Amax=10

[yeutoanmaimai1]

(x,y,z)=(1,1,2) cũng làm cho Amax=10

vai trò x,y,z như nhau nên chúng hoán đổi giá trị thôi bạn 

[Nguyen Minh Hai]

1. $x^{100}-10x^{10}+10=(x^{10}-5)^2-15$

3. Ta có: $a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=9$

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:

$(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}\geq \frac{27^2}{9}=81$

Vậy $S_{min}=81$ khi $a=b=c=3$

4. Giả sử $1\ge x\ge y\ge z\ge 2$ ta có:

$(1-\frac{x}{y})(1-\frac{y}{z})+(1-\frac{y}{x})(1-\frac{z}{y})\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}$

Lại có:  $1\leq x\leq z\leq 2\Rightarrow \frac{1}{2}\leq \frac{x}{z}\leq 2\Rightarrow (\frac{x}{z}-\frac{1}{2})(\frac{x}{z}-2)\leq 0\Leftrightarrow 0\geq (\frac{x}{z})^2-\frac{5}{2}.\frac{x}{z}+\frac{x}{z}.\frac{z}{x}\Leftrightarrow \frac{5}{2}\geq \frac{x}{z}+\frac{z}{x}$

Suy ra $A=3+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq 3+2+2.\frac{5}{2}=10$

Vậy $A_{max}=10\Leftrightarrow (x,y,z)\sim (2,2,1)$

Long coi lại đi Long ơi  

[hoanglong2k]

Ừ nhỉ choa quên  đã fix, cảm ơn

p/s: chú mày chơi gian nha :v