Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $(a^2+b^2, c^2+d^2)>1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai

Đã gửi 15-02-2015 - 21:51

Cho các số nguyên dương a, b, c, d sao cho $(ac+bd) \vdots (a^2+b^2)$.  Chứng minh $(a^2+b^2, c^2+d^2)>1$ 



#2 Tung3071999

Tung3071999

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hùng Vương Gia Lai
  • Sở thích:anime...rubik...astronomy...math...gintama...OP

Đã gửi 18-02-2015 - 10:39

chả bít đúng ko

 

http://latex.codecog...;d^{2})=k^{2}>1

đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tung3071999: 18-02-2015 - 10:41


#3 dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai

Đã gửi 18-02-2015 - 10:58

Hình như nhầm rồi Tùng. Phải chứng minh (c-ka) và (d-kb) đều không âm đã. Mà nếu tiếp tục thì làm sao có k=1 được. Chỗ kia là d=kb mà, mày ghi là b=kb



#4 Tung3071999

Tung3071999

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hùng Vương Gia Lai
  • Sở thích:anime...rubik...astronomy...math...gintama...OP

Đã gửi 18-02-2015 - 22:15

ùm thế thì sửa hộ cái



#5 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 23-02-2015 - 06:31

Cho các số nguyên dương a, b, c, d sao cho $(ac+bd) \vdots (a^2+b^2)$.  Chứng minh $(a^2+b^2, c^2+d^2)>1$ 

$\blacksquare$ với $(a,b)=1$

gọi $p$ là một ước nguyên tố của $a^2+b^2$

ta có $(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\Rightarrow p\mid ad-bc$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p\mid c(ac+bd)+d(ad-bc)=a(c^2+d^2)\\p\mid d(ac+bd)-c(ad-bc)=b(c^2+d^2) \end{matrix}\right.$

vì $(a,b)=1\Rightarrow \exists u,t\in \mathbb{Z}:au+bt=1$

$\Rightarrow p\mid u.a(c^2+d^2)+t.b(c^2+d^2)=c^2+d^2$

do đó $p\mid (a^2+b^2,c^2+d^2)\Rightarrow (a^2+b^2,c^2+d^2)>1$

$\blacksquare$ với $(a,b)=D \ \ (D\in \mathbb{N},D>1)$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=Da_1\\ b=Db_1 \end{matrix}\right. \ \ (a_1,b_1)=1$

$\Rightarrow D^2(a_1^2+b^2^2)\mid D.a_1c+D.b_1d\Rightarrow a_1^2+b_2^2\mid a_1c+b_1d$

do đó theo trên thì ta cũng có $(a_1^2+b_1^2,c^2+d^2)>1\Rightarrow \left ( D^2(a_1^2+b_1^2),c^2+d^2 \right )>1\Rightarrow (a^2+b^2,c^2+d^2)>1$

p/s:một cách làm khác ở đây

 

U-th


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#6 shinichigl

shinichigl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương
  • Sở thích:Làm toán

Đã gửi 24-02-2015 - 16:31

Cho các số nguyên dương a, b, c, d sao cho $(ac+bd) \vdots (a^2+b^2)$.  Chứng minh $(a^2+b^2, c^2+d^2)>1$ 

Từ giả thiết ta có $a\left ( ac+bd \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$. Suy ra $c\left ( a^{2}+b^{2} \right )+b\left ( ad-bc \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$.

Như vậy $b\left ( ad-bc \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$. Suy ra $b\left ( adc-bc^{2} \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$ (1).

Cũng từ giả thiết đề bài ta có $b\left ( adc+bd^{2} \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$ (2).

Từ (1) và (2) ta có $b^{2}\left ( c^{2}+d^{2} \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$.

Nếu $\left ( a^{2}+b^{2};c^{2}+d^{2} \right )=1$ thì $b^{2}\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$ (vô lý).

Vậy $\left ( a^{2}+b^{2};c^{2}+d^{2} \right )>1$.

Nhận xét: Nếu $\left ( a;b \right )=1$ thì $\left ( c^{2}+d^{2} \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh