Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $(a^2+b^2, c^2+d^2)>1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Cho các số nguyên dương a, b, c, d sao cho $(ac+bd) \vdots (a^2+b^2)$.  Chứng minh $(a^2+b^2, c^2+d^2)>1$ 



#2
Tung3071999

Tung3071999

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

chả bít đúng ko

 

http://latex.codecog...;d^{2})=k^{2}>1

đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tung3071999: 18-02-2015 - 10:41


#3
dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Hình như nhầm rồi Tùng. Phải chứng minh (c-ka) và (d-kb) đều không âm đã. Mà nếu tiếp tục thì làm sao có k=1 được. Chỗ kia là d=kb mà, mày ghi là b=kb



#4
Tung3071999

Tung3071999

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

ùm thế thì sửa hộ cái



#5
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Cho các số nguyên dương a, b, c, d sao cho $(ac+bd) \vdots (a^2+b^2)$.  Chứng minh $(a^2+b^2, c^2+d^2)>1$ 

$\blacksquare$ với $(a,b)=1$

gọi $p$ là một ước nguyên tố của $a^2+b^2$

ta có $(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\Rightarrow p\mid ad-bc$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p\mid c(ac+bd)+d(ad-bc)=a(c^2+d^2)\\p\mid d(ac+bd)-c(ad-bc)=b(c^2+d^2) \end{matrix}\right.$

vì $(a,b)=1\Rightarrow \exists u,t\in \mathbb{Z}:au+bt=1$

$\Rightarrow p\mid u.a(c^2+d^2)+t.b(c^2+d^2)=c^2+d^2$

do đó $p\mid (a^2+b^2,c^2+d^2)\Rightarrow (a^2+b^2,c^2+d^2)>1$

$\blacksquare$ với $(a,b)=D \ \ (D\in \mathbb{N},D>1)$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=Da_1\\ b=Db_1 \end{matrix}\right. \ \ (a_1,b_1)=1$

$\Rightarrow D^2(a_1^2+b^2^2)\mid D.a_1c+D.b_1d\Rightarrow a_1^2+b_2^2\mid a_1c+b_1d$

do đó theo trên thì ta cũng có $(a_1^2+b_1^2,c^2+d^2)>1\Rightarrow \left ( D^2(a_1^2+b_1^2),c^2+d^2 \right )>1\Rightarrow (a^2+b^2,c^2+d^2)>1$

p/s:một cách làm khác ở đây

 

U-th


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#6
shinichigl

shinichigl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết

Cho các số nguyên dương a, b, c, d sao cho $(ac+bd) \vdots (a^2+b^2)$.  Chứng minh $(a^2+b^2, c^2+d^2)>1$ 

Từ giả thiết ta có $a\left ( ac+bd \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$. Suy ra $c\left ( a^{2}+b^{2} \right )+b\left ( ad-bc \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$.

Như vậy $b\left ( ad-bc \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$. Suy ra $b\left ( adc-bc^{2} \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$ (1).

Cũng từ giả thiết đề bài ta có $b\left ( adc+bd^{2} \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$ (2).

Từ (1) và (2) ta có $b^{2}\left ( c^{2}+d^{2} \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$.

Nếu $\left ( a^{2}+b^{2};c^{2}+d^{2} \right )=1$ thì $b^{2}\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$ (vô lý).

Vậy $\left ( a^{2}+b^{2};c^{2}+d^{2} \right )>1$.

Nhận xét: Nếu $\left ( a;b \right )=1$ thì $\left ( c^{2}+d^{2} \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh