Cho các số nguyên dương a, b, c, d sao cho $(ac+bd) \vdots (a^2+b^2)$. Chứng minh $(a^2+b^2, c^2+d^2)>1$
Chứng minh $(a^2+b^2, c^2+d^2)>1$
#1
Đã gửi 15-02-2015 - 21:51
#2
Đã gửi 18-02-2015 - 10:39
chả bít đúng ko
http://latex.codecog...;d^{2})=k^{2}>1
đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tung3071999: 18-02-2015 - 10:41
#3
Đã gửi 18-02-2015 - 10:58
Hình như nhầm rồi Tùng. Phải chứng minh (c-ka) và (d-kb) đều không âm đã. Mà nếu tiếp tục thì làm sao có k=1 được. Chỗ kia là d=kb mà, mày ghi là b=kb
#4
Đã gửi 18-02-2015 - 22:15
ùm thế thì sửa hộ cái
#5
Đã gửi 23-02-2015 - 06:31
Cho các số nguyên dương a, b, c, d sao cho $(ac+bd) \vdots (a^2+b^2)$. Chứng minh $(a^2+b^2, c^2+d^2)>1$
$\blacksquare$ với $(a,b)=1$
gọi $p$ là một ước nguyên tố của $a^2+b^2$
ta có $(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\Rightarrow p\mid ad-bc$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p\mid c(ac+bd)+d(ad-bc)=a(c^2+d^2)\\p\mid d(ac+bd)-c(ad-bc)=b(c^2+d^2) \end{matrix}\right.$
vì $(a,b)=1\Rightarrow \exists u,t\in \mathbb{Z}:au+bt=1$
$\Rightarrow p\mid u.a(c^2+d^2)+t.b(c^2+d^2)=c^2+d^2$
do đó $p\mid (a^2+b^2,c^2+d^2)\Rightarrow (a^2+b^2,c^2+d^2)>1$
$\blacksquare$ với $(a,b)=D \ \ (D\in \mathbb{N},D>1)$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=Da_1\\ b=Db_1 \end{matrix}\right. \ \ (a_1,b_1)=1$
$\Rightarrow D^2(a_1^2+b^2^2)\mid D.a_1c+D.b_1d\Rightarrow a_1^2+b_2^2\mid a_1c+b_1d$
do đó theo trên thì ta cũng có $(a_1^2+b_1^2,c^2+d^2)>1\Rightarrow \left ( D^2(a_1^2+b_1^2),c^2+d^2 \right )>1\Rightarrow (a^2+b^2,c^2+d^2)>1$
p/s:một cách làm khác ở đây
U-th
- dinhnguyenhoangkim yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
#6
Đã gửi 24-02-2015 - 16:31
Cho các số nguyên dương a, b, c, d sao cho $(ac+bd) \vdots (a^2+b^2)$. Chứng minh $(a^2+b^2, c^2+d^2)>1$
Từ giả thiết ta có $a\left ( ac+bd \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$. Suy ra $c\left ( a^{2}+b^{2} \right )+b\left ( ad-bc \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$.
Như vậy $b\left ( ad-bc \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$. Suy ra $b\left ( adc-bc^{2} \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$ (1).
Cũng từ giả thiết đề bài ta có $b\left ( adc+bd^{2} \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$ (2).
Từ (1) và (2) ta có $b^{2}\left ( c^{2}+d^{2} \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$.
Nếu $\left ( a^{2}+b^{2};c^{2}+d^{2} \right )=1$ thì $b^{2}\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$ (vô lý).
Vậy $\left ( a^{2}+b^{2};c^{2}+d^{2} \right )>1$.
Nhận xét: Nếu $\left ( a;b \right )=1$ thì $\left ( c^{2}+d^{2} \right )\vdots \left ( a^{2}+b^{2} \right )$.
- dinhnguyenhoangkim yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh