Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng tồn tại 4 đỉnh của đa giác ... sao cho tứ giác ABCD là hình chữ nhật


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1533 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đức Thọ - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán học và thơ

Đã gửi 16-02-2015 - 11:05

Tại mỗi đỉnh của đa giác đều 100 cạnh ta đánh một số bất kì trong các số tự nhiên liên tiếp sau 1, 2, 3, 4, 5, …, 49. Chứng minh rằng tồn tại 4 đỉnh của đa giác (kí hiệu các đỉnh A, B, C, D với các số tương ứng a, b, c, d) sao cho tứ giác ABCD là hình chữ nhật và a + b = c + d



#2 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 16-02-2015 - 15:00

Tại mỗi đỉnh của đa giác đều 100 cạnh ta đánh một số bất kì trong các số tự nhiên liên tiếp sau 1, 2, 3, 4, 5, …, 49. Chứng minh rằng tồn tại 4 đỉnh của đa giác (kí hiệu các đỉnh A, B, C, D với các số tương ứng a, b, c, d) sao cho tứ giác ABCD là hình chữ nhật và a + b = c + d

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đó

Vì đa giác đều 100 cạnh nội tiếp trong (O), nên có đúng 50 đường kính khác nhau mà các đầu mút của các đường kính này đều là các đỉnh của đa giác đều 100 cạnh cho trước. Giả sử AB là một trong các đường kính ấy và giả sử A tương ứng với số a,B tương ứng với số b. Bây giờ ta gán cho đường kính AB số $|a− b|$. Do $a,b\in \left \{ 1,2,...,49 \right \}$ nên dễ thấy: $0 \leq |a− b| \leq 48$. Như vậy mỗi một trong 50 đường kính vừa xét tương ứng với một trong các số 1, 2, . . . , 48. Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất hai đường kính (trong số 50 đường kính) được đặt tương ứng với cùng một số. Không giảm tổng quát có thể cho đó là đường kính AC và BD. Cũng không giảm tổng quát có thể cho là các đỉnh A,B,C,D tương ứng với các số a, b, c, d, trong đó $c \leq a$ và $b \leq d$ (Nếu không phải như thế thì chỉ việc đổi tên các đầu mút của đường kính). Theo giả thiết thì đường kính AC ứng với số $a− c$, còn đường kính BD ứng với số $d− b$. Nên tứ giác ABCD là hình chữ nhật và $a-c=d-b \Leftrightarrow a+b=c+d$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 16-02-2015 - 15:02





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh