Chủ đề này có 1 trả lời

[Mai Pham]

Biện luận số nghiệm của phương trình :

$1-2m+\sqrt{6\left | x \right |-9x^{2}}=0$

[E. Galois]

Biện luận số nghiệm của phương trình :

$1-2m+\sqrt{6\left | x \right |-9x^{2}}=0$

ĐK: $-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}$

Đặt $|x|=t$, ta có: $t \in \left[ 0; \frac{2}{3} \right]$, phương trình đã cho trở thành:
$$\sqrt{6t-9t^2} = 2m-1, \ \ \ \ \ (1)$$

Xét hàm số: $f(t) =  \sqrt{6t-9t^2}$ trên $\left[ 0; \frac{2}{3} \right]$. Ta có bảng biến thiên của hàm số:

 

Dựa vào bảng biến thiên, ta có các trường hợp sau:

*) Nếu $2m-1 < 0$ hay $m < \frac{1}{2}$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.

*) Nếu $m=\frac{1}{2}$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm là $t_1=0, t_2=\frac{2}{3}$, do đó, phương trình đã cho có ba nghiệm: $x=0;x=\pm \frac{2}{3}$

*) Nếu $0 < 2m-1 < 1 $ hay $\frac{1}{2} < m < 1$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt, do đó phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt. 

*) Nếu $m=1$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm $x = \pm \frac{1}{3}$

*) Nếu $m>1$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.

 

Chúc mừng năm mới Ất mùi!