Chủ đề này có 1 trả lời

[buitudong1998]

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $abc=2\sqrt{2}$. Tìm $GTNN$ của: $P=\sum \frac{a^{6}+b^{6}}{a^{4}+b^{4}+a^{2}b^{2}}$

[the man]

$\frac{a^{6}+b^{6}}{a^{4}+b^{4}+a^{2}b^{2}}=(a^{2}+b^{2}).\frac{a^{4}+b^{4}-a^{2}b^{2}}{a^{4}+b^{4}+a^{2}b^{2}}$

Cần chứng minh $\frac{a^{4}+b^{4}-a^{2}b^{2}}{a^{4}+b^{4}+a^{2}b^{2}}$ $\geq \frac{1}{3}(*)$

Thật vậy $(*)\Leftrightarrow 3(a^{4}+b^{4}-a^{2}b^{2})\geq a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}\Leftrightarrow 2(a^{2}-b^{2})\geq 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow \sum \frac{a^{6}+b^{6}}{a^{4}+b^{4}+a^{2}b^{2}}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq \frac{2}{3}.3.\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}=4$

Min$P=4\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{2}$