Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh a2+b2+c2$\geq$4(a2b2+b2c2+c2a2)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai

Đã gửi 17-02-2015 - 15:17

Cho a, b, c > 0 và a2+b2+c2+2abc=1.

Chứng minh a2+b2+c2$\geq$4(a2b2+b2c2+c2a2)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhnguyenhoangkim: 17-02-2015 - 15:17


#2 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 17-02-2015 - 15:49

Cho a, b, c > 0 và a2+b2+c2+2abc=1.

Chứng minh a2+b2+c2$\geq$4(a2b2+b2c2+c2a2)

Do $a^2+b^2+c^2+2abc=1$ nên tồn tại các số thực dương $m,n,p$ thỏa mãn :

 

 $a=\frac{m}{\sqrt{(m+n)(m+p)}},b=\frac{n}{\sqrt{(n+p)(n+m)}},c=\frac{p}{\sqrt{(p+m)(p+n)}}$

 

Từ đó BDT $< = > \sum (\frac{m}{\sqrt{(m+n)(m+p)}})^2\geq 4\sum (\frac{m}{\sqrt{(m+n)(m+p)}})^2(\frac{n}{\sqrt{(n+m)(n+p)}}^2< = > \sum \frac{m^2}{(m+n)(m+p)}\geq 4\sum \frac{m^2n^2}{(m+n)^2(n+p)(m+p)}< = > \frac{\sum m^2(n+p)}{(m+n)(n+p)(m+p)}\geq 4\sum \frac{m^2n^2}{(m+n)^2(n+p)(m+p)}< = > \sum m^2(n+p)\geq 4\sum \frac{m^2n^2}{m+n}< = > \sum mn(m+n)\geq 4\sum \frac{m^2n^2}{m+n}< = > \sum mn(m+n-\frac{4mn}{m+n})\geq 0< = > \sum \frac{mn(m-n)^2}{m+n}\geq 0$

 

  BDT này luôn đúng và ta có ĐPCM .Dấu = xảy ra khi $m=n=p< = > a=b=c=\frac{1}{2}$



#3 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 17-02-2015 - 21:30

Cách này nhìn ngắn hơn nhưng đầy tính toán trong đấy.

Giả sử $a=\text{min}\{a,b,c\}$. Bất đẳng thức trên tương đương với

$\dfrac{4(b-c)^2\left[(b+c)^2+4abc\right]}{4(a+1)^2}+\dfrac{a(1-4a^2)(b-c)^2}{a+1}+a(2a-1)^2 \geqslant 0$ hiển nhiên đúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$ hoặc $a=0, b=c=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#4 dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai

Đã gửi 17-02-2015 - 21:40

Sao khủng quá vậy. Con đường đi tới như thế nào vậy bạn ?



#5 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 17-02-2015 - 21:44

Sao khủng quá vậy. Con đường đi tới như thế nào vậy bạn ?

Đặt $t\geqslant 0$ sao cho $a^2+2t^2+2at^2=1=a^2+b^2+c^2+2abc$

Khi đó xét hiệu $f(a,b,c)-f(a,t,t)=4(t^2-bc)(t^2+bc)+(1-4a^2)(b^2+c^2-2t^2)$

Đến đây chỉ cần việc thế $t^2=\dfrac{b^2+c^2+2abc}{2(a+1)}$ vào và tính được $f(a,t,t)=a(2a-1)^2$

Kết thúc với 1 lời giải khá ngắn.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#6 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 17-02-2015 - 22:15

Cách này nhìn ngắn hơn nhưng đầy tính toán trong đấy.

Giả sử $a=\text{min}\{a,b,c\}$. Bất đẳng thức trên tương đương với

$\dfrac{4(b-c)^2\left[(b+c)^2+4abc\right]}{4(a+1)^2}+\dfrac{a(1-4a^2)(b-c)^2}{a+1}+a(2a-1)^2 \geqslant 0$ hiển nhiên đúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$ hoặc $a=0, b=c=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Điều kiện là các số dương mà bạn



#7 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 18-02-2015 - 08:35

Điều kiện là các số dương mà bạn

Vậy thì sẽ là $a\to 0, b=c\to \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và các hoán vị.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#8 dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai

Đã gửi 18-02-2015 - 08:39

Vậy thì sẽ là $a\to 0, b=c\to \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và các hoán vị.

Dấu mũi tên nghĩa là sao vậy bạn ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhnguyenhoangkim: 18-02-2015 - 08:40


#9 Tung3071999

Tung3071999

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hùng Vương Gia Lai
  • Sở thích:anime...rubik...astronomy...math...gintama...OP

Đã gửi 18-02-2015 - 10:09

Dấu mũi tên là đẳng thức xảy ra khi c tăng lên giá trị đó đó

Mak cách đặt m,n,p kia ở trong cuốn Am-GM của anh Cẩn đó Kim






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh