Cho a, b, c > 0 và a2+b2+c2+2abc=1.
Chứng minh a2+b2+c2$\geq$4(a2b2+b2c2+c2a2)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhnguyenhoangkim: 17-02-2015 - 15:17
Cho a, b, c > 0 và a2+b2+c2+2abc=1.
Chứng minh a2+b2+c2$\geq$4(a2b2+b2c2+c2a2)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhnguyenhoangkim: 17-02-2015 - 15:17
Cho a, b, c > 0 và a2+b2+c2+2abc=1.
Chứng minh a2+b2+c2$\geq$4(a2b2+b2c2+c2a2)
Do $a^2+b^2+c^2+2abc=1$ nên tồn tại các số thực dương $m,n,p$ thỏa mãn :
$a=\frac{m}{\sqrt{(m+n)(m+p)}},b=\frac{n}{\sqrt{(n+p)(n+m)}},c=\frac{p}{\sqrt{(p+m)(p+n)}}$
Từ đó BDT $< = > \sum (\frac{m}{\sqrt{(m+n)(m+p)}})^2\geq 4\sum (\frac{m}{\sqrt{(m+n)(m+p)}})^2(\frac{n}{\sqrt{(n+m)(n+p)}}^2< = > \sum \frac{m^2}{(m+n)(m+p)}\geq 4\sum \frac{m^2n^2}{(m+n)^2(n+p)(m+p)}< = > \frac{\sum m^2(n+p)}{(m+n)(n+p)(m+p)}\geq 4\sum \frac{m^2n^2}{(m+n)^2(n+p)(m+p)}< = > \sum m^2(n+p)\geq 4\sum \frac{m^2n^2}{m+n}< = > \sum mn(m+n)\geq 4\sum \frac{m^2n^2}{m+n}< = > \sum mn(m+n-\frac{4mn}{m+n})\geq 0< = > \sum \frac{mn(m-n)^2}{m+n}\geq 0$
BDT này luôn đúng và ta có ĐPCM .Dấu = xảy ra khi $m=n=p< = > a=b=c=\frac{1}{2}$
Cách này nhìn ngắn hơn nhưng đầy tính toán trong đấy.
Giả sử $a=\text{min}\{a,b,c\}$. Bất đẳng thức trên tương đương với
$\dfrac{4(b-c)^2\left[(b+c)^2+4abc\right]}{4(a+1)^2}+\dfrac{a(1-4a^2)(b-c)^2}{a+1}+a(2a-1)^2 \geqslant 0$ hiển nhiên đúng.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$ hoặc $a=0, b=c=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Sao khủng quá vậy. Con đường đi tới như thế nào vậy bạn ?
Sao khủng quá vậy. Con đường đi tới như thế nào vậy bạn ?
Đặt $t\geqslant 0$ sao cho $a^2+2t^2+2at^2=1=a^2+b^2+c^2+2abc$
Khi đó xét hiệu $f(a,b,c)-f(a,t,t)=4(t^2-bc)(t^2+bc)+(1-4a^2)(b^2+c^2-2t^2)$
Đến đây chỉ cần việc thế $t^2=\dfrac{b^2+c^2+2abc}{2(a+1)}$ vào và tính được $f(a,t,t)=a(2a-1)^2$
Kết thúc với 1 lời giải khá ngắn.
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Cách này nhìn ngắn hơn nhưng đầy tính toán trong đấy.
Giả sử $a=\text{min}\{a,b,c\}$. Bất đẳng thức trên tương đương với
$\dfrac{4(b-c)^2\left[(b+c)^2+4abc\right]}{4(a+1)^2}+\dfrac{a(1-4a^2)(b-c)^2}{a+1}+a(2a-1)^2 \geqslant 0$ hiển nhiên đúng.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$ hoặc $a=0, b=c=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Điều kiện là các số dương mà bạn
Điều kiện là các số dương mà bạn
Vậy thì sẽ là $a\to 0, b=c\to \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và các hoán vị.
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Vậy thì sẽ là $a\to 0, b=c\to \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và các hoán vị.
Dấu mũi tên nghĩa là sao vậy bạn ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhnguyenhoangkim: 18-02-2015 - 08:40
Dấu mũi tên là đẳng thức xảy ra khi c tăng lên giá trị đó đó
Mak cách đặt m,n,p kia ở trong cuốn Am-GM của anh Cẩn đó Kim
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh