Chủ đề này có 3 trả lời

[ductuMATHER]

Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì 

$\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}} \geq \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 18-02-2015 - 09:47

[dogsteven]

$\sum \left(\dfrac{a^2}{b^2+c^2}-\dfrac{a}{b+c}\right)=\sum \dfrac{ab(a-b)-ca(c-a)}{(b+c)(b^2+c^2)}\\=\sum ab(a-b)\left[\dfrac{1}{(b+c)(b^2+c^2)}-\dfrac{1}{(a+c)(a^2+c^2)}\right]\\=\sum \dfrac{ab(a-b)^2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a+c)(b+c)(a^2+c^2)(b^2+c^2)} \geqslant 0$

[Dinh Xuan Hung]

Xét:$\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{a(ab+ac-b^2-c^2)}{(b^2+c^2)(b+c)}=\frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b^2+c^2)(b+c)}$

CMTT:$\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc(b-c)+ba(b-a)}{(c^2+a^2)(c+a)}$

$\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{b+a}=\frac{ca(c-a)+cb(c-b)}{(a^2+b^2)(a+b)}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}-\sum \frac{a}{b+c}=\sum ab(a-b)\left [ \frac{1}{(b^2+c^2)(b+c)}-\frac{1}{(a^2+c^2)(a+c)} \right ]$

Giả sử $a\geq b\geq c> 0$ thì các dấu trong ngoặc tròn và vuông đều đúng

P/s:Sửa laị tiêu đề đi bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 17-02-2015 - 21:13

[KietLW9]

Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì 

$\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}} \geq \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}$

 

Đây là bài toán tổng quát: Cho $a,b,c>0$ và $r,s$ là các số thực dương sao cho $r\geqslant s$. Chứng minh: $\frac{a^r}{b^r+c^r}+\frac{b^r}{c^r+a^r}+\frac{c^r}{a^r+b^r}\geqslant \frac{a^s}{b^s+c^s}+\frac{b^s}{c^s+a^s}+\frac{c^s}{a^s+b^s}$