Chủ đề này có 11 trả lời

[kudoshinichihv99]

Cho a,b,c không âm chứng minh:

a²+b²+c²+2abc+1$\ \geqslant$2(ab+bc+ac)

[Dinh Xuan Hung]

Theo nguyên lý Dirichlet, ta thấy rằng trong ba số a,b,c sẽ có hai số hoặc cùng $\geq 1$ hoặc $\leq 1$.Giả sử hai số đó là a,b. Khi đó ta có $(a-1)(b-1)\geq 0$

Xét Hiệu:

$a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ac)= (a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$

[khanghaxuan]

Theo nguyên lý Dirichlet, ta thấy rằng trong ba số a,b,c sẽ có hai số hoặc cùng $\geq 1$ hoặc $\leq 1$.Giả sử hai số đó là a,b. Khi đó ta có $(a-1)(b-1)\geq 0$

Xét Hiệu:

$a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ac)= (a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$

Sai ngay từ khúc đầu rồi em ơi !!!!!! Đề chỉ cho là 3 số không âm thôi chứ cho $a+b+c=3$  đâu . 

[GeminiKid]

Sai ngay từ khúc đầu rồi em ơi !!!!!! Đề chỉ cho là 3 số không âm thôi chứ cho $a+b+c=3$  đâu . 

ko sai đâu, nếu nó ko lớn hơn thì nhỏ hơn cx đc mà

[Dinh Xuan Hung]

Vậy em xin làm cách khác$2abc+1=abc+abc+1\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq \frac{9abc}{a+b+c}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh:$a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ac)\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\Leftrightarrow a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0$

(Luôn đúng theo BDT SHUR )

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 18-02-2015 - 15:29

[kudoshinichihv99]

ko sai đâu, nếu nó ko lớn hơn thì nhỏ hơn cx đc mà

thế sao đc như vậy làm mất tính tổng quát của bài toán

[Dinh Xuan Hung]

Thì có cách mới rùi thây!

[GeminiKid]

thế sao đc như vậy làm mất tính tổng quát của bài toán

1 số chỉ có thể

_TH1:>or= 1

_TH2:<or=1 (hiển nhiên)

nên trong 3 số bất kì thì chắc chắn phải có 2 số rơi vào cùng 1 trường hợp

[kudoshinichihv99]

Ừm vậy còn cách này thì sao

Đặt a+b+c=k Ta có bđt abc$\ \geq$(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)

=>abc$\ \geq$(k-2a)(k-2b)(k-2c)<=>4(ab+bc+ac)-k²$\ \leq$$\ \frac{9}{k}abc$

BĐT của bài toán tương đương

(a+b+c)²+2abc+1$\ \geq$4(ab+bc+ac)<=>4(ab+bc+ac)-k²$\ \leq$1+2abc

=> cần cm (9/k-2)abc$\ \leq$1

Mặt khác ta có

(9/k-2)abc$\ \leq$(9/k-2)k³/27=$\ \frac{(9-2k)k^{2}}{27}$$\ \leq$1

=>đpcm

[kudoshinichihv99]

1 số chỉ có thể

_TH1:>or= 1

_TH2:<or=1 (hiển nhiên)

nên trong 3 số bất kì thì chắc chắn phải có 2 số rơi vào cùng 1 trường hợp

nhưng đây chỉ là 3 số không âm

[Dinh Xuan Hung]

nhưng đây chỉ là 3 số không âm

Thì để cho là ba số không âm mà ?

[dogsteven]

Giờ thế này, nếu $(a-1)(b-1)<0, (b-1)(c-1)<0$ và $(c-1)(a-1)<0$ thì $[(a-1)(b-1)(c-1)]^2<0$ vô lý. Do đó giả sử được $(a-1)(b-1)\geqslant 0$

Hoặc có thể cho $a-1, b-1, c-1$ là các con thỏ và $[0,1]$ và $[1,+\infty]$ là hai lồng thì có 2 con thỏ nằm cùng 1 lồng.