Chủ đề này có 4 trả lời

[Sherlock Nguyen]

cho a,b,c dương thỏa mãn 6a+3b+2c=abc. Tìm giá trị lớn nhất của:

     $B=\frac{1}{{\sqrt{a^{2}+1}}}+\frac{2}{\sqrt{b^{2}+4}}+\frac{3}{\sqrt{c^{2}+9}}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 19-02-2015 - 09:47

[Dinh Xuan Hung]

cho a,b,c dương thỏa mãn 6a+3b+2c=abc. Tìm giá trị lớn nhất của:

     $B=\frac{1}{{\sqrt{a^{2}+1}}}+\frac{2}{\sqrt{b^{2}+4}}+\frac{1}{\sqrt{c^{2}+9}}$

Chỗ màu đỏ kia phải là 3 chứ

$6a+3b+2c=abc\Leftrightarrow \frac{2}{ab}+\frac{3}{ac}+\frac{6}{bc}=1$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}=x & & & \\ \frac{2}{b}=y & & & \\ \frac{3}{c}=z& & & \end{matrix}\right. \Rightarrow xy+yz+xz=1$

$B=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{b^2+4}}+\frac{3}{\sqrt{c^2+9}} = \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{b^2}{4}+1}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{c^2}{9}+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{y^2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{z^2}+1}}= \sum \frac{x} {\sqrt{x^2+1} }$

Lại có:$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+xz}}= \frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{x}{2}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})= \frac{1}{2}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})$

CMTT:$\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\leq \frac{1}{2}(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z})$

$\frac{z}{\sqrt{z^2+1}}\leq \frac{1}{2}(\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z})$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\leq \frac{1}{2}(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{x+z}{x+z})= \frac{3}{2}$

DBXR khi$x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\sqrt{3} & & & \\ b=2\sqrt{3} & & & \\ c=3\sqrt{3} & & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 18-02-2015 - 15:40

[hoctrocuaZel]

cho a,b,c dương thỏa mãn 6a+3b+2c=abc. Tìm giá trị lớn nhất của:

     $B=\frac{1}{{\sqrt{a^{2}+1}}}+\frac{2}{\sqrt{b^{2}+4}}+\frac{3}{\sqrt{c^{2}+9}}$

$gt\rightarrow \frac{6}{bc}+\frac{3}{ac}+\frac{2}{ab}=1$ hay $\frac{1}{a}=x;\frac{2}{b}=y;\frac{3}{c}=z\Rightarrow xy+xz+yz=1$

$LHS=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{b^2}{4}+1}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{c^2}{9}+1}}=\sum \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}=\sum \frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{3}{2}$

[dinhnguyenhoangkim]

 

Chỗ màu đỏ kia phải là 3 chứ

$6a+3b+2c=abc\Leftrightarrow \frac{2}{ab}+\frac{3}{ac}+\frac{6}{bc}=1$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}=x & & & \\ \frac{2}{b}=y & & & \\ \frac{3}{c}=z& & & \end{matrix}\right. \Rightarrow xy+yz+xz=1$

$B=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{b^2+4}}+\frac{3}{\sqrt{c^2+9}} = \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{b^2}{4}+1}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{c^2}{9}+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{y^2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{z^2}+1}}= \sum \frac{x} {\sqrt{x^2+1} }$

Lại có:$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+xz}}= \frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{x}{2}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})= \frac{1}{2}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})$

CMTT:$\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\leq \frac{1}{2}(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z})$

$\frac{z}{\sqrt{z^2+1}}\leq \frac{1}{2}(\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z})$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\leq \frac{1}{2}(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{x+z}{x+z})= \frac{3}{2}$

DBXR khi $x=y=z=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{3}{c}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3 & & & \\ b=6& & & \\ c=9& & & \end{matrix}\right.$

 

Bạn Dinh Xuan Hung nhầm chỗ dấu bằng rồi.

Dấu "=" phải là $x=y=z=\frac{1}{\sqrt3}\Leftrightarrow$$\begin{cases} & \text a=\sqrt3 \\ & \text b= 2\sqrt3\\ & \text c= 3\sqrt3 \end{cases}$

[Dinh Xuan Hung]

 

 

 

Bạn Dinh Xuan Hung nhầm chỗ dấu bằng rồi.

Dấu "=" phải là $x=y=z=\frac{1}{\sqrt3}\Leftrightarrow$$\begin{cases} & \text a=\sqrt3 \\ & \text b= 2\sqrt3\\ & \text c= 3\sqrt3 \end{cases}$

 

UK minh nhầm