Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho phương trình : $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực

(với a,b là các số thực)

Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 18-02-2015 - 22:09

[NMDuc98]

Cho phương trình : $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực

(với a,b là các số thực)

Tìm giá trịnh nhỏ nhất của $a^2+b^2$

Hướng Dẫn:

Gọi $x_0$ là một nghiệm của phương trình đã cho.Hiển nhiển $x_0 \ne 0$.

Khi đóa ta suy ra:

$$x_0^4+ax_0^3+bx_0^2+ax_0+1=0\\ \Leftrightarrow x_0^2+ax_0+b+\frac{a}{x_0}+\frac{1}{x_0^2}=0\\ \Leftrightarrow at+b=2-t^2 ~~~~\left ( t=x_0+\frac{1}{x_0}\rightarrow |t| \ge 2\right )$$

Mặt khác theo BĐT BCS thì:

$$(at+b)^2 \le (a^2+b^2)(t^2+1)\Rightarrow a^2+b^2 \ge \frac{\left ( 2-t^2 \right )^2}{t^2+1}~~~~~(*)$$

Mặt khác:

$$\frac{\left ( 2-t^2 \right )^2}{t^2+1} -\frac{4}{5}=\frac{(5t^2-4)(t^2-4)}{5(t^2+1)} \ge 0~~~\forall |t| \ge 2\\ \Rightarrow \frac{\left ( 2-t^2 \right )^2}{t^2+1} \ge \frac{4}{5} ~~~\forall |t| \ge 2~~~~(**)$$

Từ $(*)$ và $(**)$ rút ra kết luận!