Cho phương trình : $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực
(với a,b là các số thực)
Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 18-02-2015 - 22:09
Cho phương trình : $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực
(với a,b là các số thực)
Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 18-02-2015 - 22:09
Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
Cho phương trình : $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực
(với a,b là các số thực)
Tìm giá trịnh nhỏ nhất của $a^2+b^2$
Hướng Dẫn:
Gọi $x_0$ là một nghiệm của phương trình đã cho.Hiển nhiển $x_0 \ne 0$.
Khi đóa ta suy ra:
$$x_0^4+ax_0^3+bx_0^2+ax_0+1=0\\ \Leftrightarrow x_0^2+ax_0+b+\frac{a}{x_0}+\frac{1}{x_0^2}=0\\ \Leftrightarrow at+b=2-t^2 ~~~~\left ( t=x_0+\frac{1}{x_0}\rightarrow |t| \ge 2\right )$$
Mặt khác theo BĐT BCS thì:
$$(at+b)^2 \le (a^2+b^2)(t^2+1)\Rightarrow a^2+b^2 \ge \frac{\left ( 2-t^2 \right )^2}{t^2+1}~~~~~(*)$$
Mặt khác:
$$\frac{\left ( 2-t^2 \right )^2}{t^2+1} -\frac{4}{5}=\frac{(5t^2-4)(t^2-4)}{5(t^2+1)} \ge 0~~~\forall |t| \ge 2\\ \Rightarrow \frac{\left ( 2-t^2 \right )^2}{t^2+1} \ge \frac{4}{5} ~~~\forall |t| \ge 2~~~~(**)$$
Từ $(*)$ và $(**)$ rút ra kết luận!
Nguyễn Minh Đức
Lặng Lẽ
THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh