Mình chứng minh tính chất " Nếu $I$ là họ tập con của $S$ sao cho không có tập nào là tập con của tập khác thì $\left | I \right |\leq \binom{n}{\frac{n}{2}}$" theo một cách khác.
Ta sẽ đếm số các chuỗi tập con $B_1,B_2,..,B_n$ của $S$ thỏa $B_1\subset B_2\subset ...\subset B_n$ và $\left | B_i \right |=i $ $\forall i=1,2,...,n$. Dễ thấy rằng từ tập $B_n$, có $n$ cách chọn ra môt phần tử và nếu loại phần tử đó đi thì ta được tập $B_{n-1}$ và tương tự cũng có $n-1$ cách chọn ra tập $B_{n-2}$ và cứ thế. Suy ra rằng số chuỗi các tập con này đúng bằng $n!$ ( do trong cách chọn không có chuỗi nào trùng nhau).
Cố định một tập $A$ có $k$ phần tử, bằng cách tương tự như trên ta thấy rằng số chuỗi các tập con thỏa $B_1\subset B_2\subset ,,,\subset B_{k-1}\subset A\subset B_{k+1}\subset ...\subset B_n$ và $\left | B_i \right |=i$ $\forall i=1,2,...,n$ là $(n-k)!k!$.
Ta thấy rằng với hai tập con khác nhau $A,B$ thuộc $I$ thì do $A,B$ không có tập nào là tập con của tập khác nên chuỗi các tập con lập được từ $A$ và $B$ là phân biệt. Như vậy nếu giả sử rằng $I$ có $k$ tập con là $A_1,A_2,...,A_k$ thì khi đó số chuỗi có thể tạo thành như trên là $\sum _{i=0}^k(n-i)!i!$.
Vậy ta có:
$\sum _{i=0}^k(n-i)!i!\leq n!\Leftrightarrow \sum _{k=0}^n\frac{1}{\binom{n}{i}}\leq 1$
Để ý rằng ta có $\binom{n}{i}\leq \binom{n}{\frac{n}{2}}\forall i=1,2,...,n$. nên ta có $\frac{k}{\binom{n}{\frac{n}{2}}}\leq 1\Leftrightarrow k\leq \binom{n}{\frac{n}{2}}$.
Vậy ta có điều phải chứng minh.