Đến nội dung

Hình ảnh

Đa thức $f(x^2)$ cũng bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Cho đa thức $f(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$ và là một đa thức đơn khởi (đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng $1$. Chứng minh rằng nếu $|f(0)|$ không phải là một số chính phương thì đa thức $f(x^2)$ cũng bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#2
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

Giả sử $f(x^{2})$ không phải là đa thức bất khả quy hay $f(x^{2})$ có thể phân tích thành hai đa thức có bậc nhỏ hơn ( ở đây là bậc 1) . Ta có :   

                       $f(x^{2})=ax^{2}+b=a(x+1)^{2}-(2ax+a-b)=(x\sqrt{a}+\sqrt{a})^{2}-(2ax+a-b)$(*)

 

Nếu a không là số chính phương thì bài toán được chứng minh

 

Nếu a là số chính phương :  

 

a . Nếu  $2ax+a-b$ không là số chính phương thì bài toán được chứng ming xong 

 

b. Nếu $2ax+a-b$ là số chính phương thì  :  $f(x^{2})(*)=(x\sqrt{a}+\sqrt{a}-\sqrt{2ax+a-b})(x\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt{2ax+a-b})$ 

 

Ta cần chứng minh :  $\sqrt{a}-\sqrt{2ax+a-b}$ không là số nguyên  . 

 

Thật vậy giả sử :  $\sqrt{a}-\sqrt{2ax+a-b}$ là số nguyên thì $2ax+a-b$ là một số chính phương . 

 

Hay :  $a(2x+1)-b=k^{2}$ . Cho $x=-\frac{1}{2}$ thì $-b=k^{2}$  ( vô lý )

 

Vậy ta có ĐPCM 

 

P/s : Bài này em làm thiếu trường hợp ,tối bổ sung !!!


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#3
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Giả sử $f(x^{2})$ không phải là đa thức bất khả quy hay $f(x^{2})$ có thể phân tích thành hai đa thức có bậc nhỏ hơn ( ở đây là bậc 1) . Ta có :   

                       $f(x^{2})=ax^{2}+b=a(x+1)^{2}-(2ax+a-b)=(x\sqrt{a}+\sqrt{a})^{2}-(2ax+a-b)$(*)

 

Nếu a không là số chính phương thì bài toán được chứng minh

 

Nếu a là số chính phương :  

 

a . Nếu  $2ax+a-b$ không là số chính phương thì bài toán được chứng ming xong 

 

b. Nếu $2ax+a-b$ là số chính phương thì  :  $f(x^{2})(*)=(x\sqrt{a}+\sqrt{a}-\sqrt{2ax+a-b})(x\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt{2ax+a-b})$ 

 

Ta cần chứng minh :  $\sqrt{a}-\sqrt{2ax+a-b}$ không là số nguyên  . 

 

Thật vậy giả sử :  $\sqrt{a}-\sqrt{2ax+a-b}$ là số nguyên thì $2ax+a-b$ là một số chính phương . 

 

Hay :  $a(2x+1)-b=k^{2}$ . Cho $x=-\frac{1}{2}$ thì $-b=k^{2}$  ( vô lý )

 

Vậy ta có ĐPCM 

 

P/s : Bài này em làm thiếu trường hợp ,tối bổ sung !!!

Không đúng nha bạn ! @@~ 


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#4
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Cho đa thức $f(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$ và là một đa thức đơn khởi (đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng $1$. Chứng minh rằng nếu $|f(0)|$ không phải là một số chính phương thì đa thức $f(x^2)$ cũng bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$

Vừa mới tra google mới biết bất khả quy là gì :))

Ta giả sử $f(x)$ có dạng $ax+b$ với $a,b\in \mathbb{Z}$ thì theo đầu bài ta có $(a,b)=1$

Giả sử $f(x^2)$ không là hàm bất khả quy thì $f(x^2)$ có dạng $(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)$ với $a_1,a_2,b_1,b_2\in \mathbb{Z}$ ( do $(a,b)=1$ )

Ta có $ax^2+b=(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)=a_1a_2x^2+(a_1b_2+a_2b_1)x+b_1b_2$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=a_1a_2\\b=b_1b_2 \\ \dfrac{a_1}{b_1}=-\dfrac{a_2}{b_2}\end{matrix}\right.$

Do $(a,b)=1$ nên $(a_1,b_1)=1$ và $(a_2,b_2)=1$
Ta có $b_1=-\dfrac{a_1b_2}{a_2}$ do $b_1$ nguyên và $(a_2,b_2)=1$ nên $a_2| a_1$
$b_2=-\dfrac{a_2b_1}{a_1}$ do $b_2$ nguyên và $(a_1,b_1)=1$ nên $a_1| a_2$
$\Rightarrow |a_1|=|a_2|\Rightarrow |b_1|=|b_2|$
$\Rightarrow |b|$ là số chính phương hay $|f(0)|$ là số chình phương.
Từ đây ta có thể suy ra điều phải chứng minh
 

Chỗ này là sao ạ. Đâu thể có $deg f=1$ ~~

 

Nhìn lộn đề :v


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 25-02-2015 - 08:31

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#5
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

 

Vừa mới tra google mới biết bất khả quy là gì :))

Ta giả sử $f(x)$ có dạng $ax+b$ với $a,b\in \mathbb{Z}$ thì theo đầu bài ta có $(a,b)=1$

Giả sử $f(x^2)$ không là hàm bất khả quy thì $f(x^2)$ có dạng $(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)$ với $a_1,a_2,b_1,b_2\in \mathbb{Z}$ ( do $(a,b)=1$ )

Ta có $ax^2+b=(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)=a_1a_2x^2+(a_1b_2+a_2b_1)x+b_1b_2$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=a_1a_2\\b=b_1b_2 \\ \dfrac{a_1}{b_1}=-\dfrac{a_2}{b_2}\end{matrix}\right.$

Do $(a,b)=1$ nên $(a_1,b_1)=1$ và $(a_2,b_2)=1$
Ta có $b_1=-\dfrac{a_1b_2}{a_2}$ do $b_1$ nguyên và $(a_2,b_2)=1$ nên $a_2| a_1$
$b_2=-\dfrac{a_2b_1}{a_1}$ do $b_2$ nguyên và $(a_1,b_1)=1$ nên $a_1| a_2$
$\Rightarrow |a_1|=|a_2|\Rightarrow |b_1|=|b_2|$
$\Rightarrow |b|$ là số chính phương hay $|f(0)|$ là số chình phương.
Từ đây ta có thể suy ra điều phải chứng minh

 

Chỗ này là sao ạ. Đâu thể có $deg f=1$ ~~


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#6
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

Vừa mới tra google mới biết bất khả quy là gì :))

Ta giả sử $f(x)$ có dạng $ax+b$ với $a,b\in \mathbb{Z}$ thì theo đầu bài ta có $(a,b)=1$

Giả sử $f(x^2)$ không là hàm bất khả quy thì $f(x^2)$ có dạng $(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)$ với $a_1,a_2,b_1,b_2\in \mathbb{Z}$ ( do $(a,b)=1$ )

Ta có $ax^2+b=(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)=a_1a_2x^2+(a_1b_2+a_2b_1)x+b_1b_2$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=a_1a_2\\b=b_1b_2 \\ \dfrac{a_1}{b_1}=-\dfrac{a_2}{b_2}\end{matrix}\right.$

Do $(a,b)=1$ nên $(a_1,b_1)=1$ và $(a_2,b_2)=1$
Ta có $b_1=-\dfrac{a_1b_2}{a_2}$ do $b_1$ nguyên và $(a_2,b_2)=1$ nên $a_2| a_1$
$b_2=-\dfrac{a_2b_1}{a_1}$ do $b_2$ nguyên và $(a_1,b_1)=1$ nên $a_1| a_2$
$\Rightarrow |a_1|=|a_2|\Rightarrow |b_1|=|b_2|$
$\Rightarrow |b|$ là số chính phương hay $|f(0)|$ là số chình phương.
Từ đây ta có thể suy ra điều phải chứng minh
 
 

Nhìn lộn đề :v

 

Chỗ này hình như là không đúng . VD :  $f(x)=8x+24$  có :  8 không chia hết cho 3 ; $24\vdots 3$ ; nhưng 24 không chia hết cho 9 . Nhưng $\bigl(\begin{smallmatrix} 8;24 \end{smallmatrix}\bigr)=8$


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh