Chủ đề này có 3 trả lời

[Violympictoan]

Bài 1: Cho x,y,z$\epsilon$$\mathbb{R}$ và x,y,z$\geq \sqrt{2}$

Chứng minh:

$\frac{1}{x^{5}+y^{5}+2xyz}+\frac{1}{y^{5}+z^{5}+2xyz}+\frac{1}{z^{5}+x^{5}+2xyz}$ $\leq$ $\frac{1}{2xyz}$

Bài 2: Cho x,y,z$\epsilon \mathbb{R}$ và $x,y,z\geq 0$.Chứng minh

$\frac{x^{2}-z^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}-x^{2}}{z+x}+\frac{x^{2}-y^{z}}{x+y}$$\geq 0$

[Dinh Xuan Hung]

Bài 1: Cho x,y,z$\epsilon$$\mathbb{R}$ và x,y,z$\geq \sqrt{2}$

Chứng minh:

$\frac{1}{x^{5}+y^{5}+2xyz}+\frac{1}{y^{5}+z^{5}+2xyz}+\frac{1}{z^{5}+x^{5}+2xyz}$ $\leq$ $\frac{1}{2xyz}$

 

Vì $x\geq \sqrt{2};y\geq \sqrt{2}\Rightarrow xy\geq 2$

$x^5+y^5\geq x^2y^2(x+y)\Leftrightarrow x^5+y^2+2xyz\geq xy\left [ xy(x+y)+2z \right ]\geq xy\left [ 2(x+y)+2z \right ]\geq 2xy(x+y+z)\Leftrightarrow \frac{1}{x^5+y^5+2xyz}\leq \frac{1}{2xy(x+y+z)}$

CMTT: $\frac{1}{y^5+z^5+2xyz}\leq \frac{1}{2yz(x+y+z)}$

$\frac{1}{x^5+z^5+2xyz}\leq \frac{1}{2xz(x+y+z)}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{x^5+y^5+2xyz}\leq \sum \frac{1}{2xy(x+y+z)}= \frac{x+y+z}{2xyz(x+y+z)}=\frac{1}{2xyz}$

DBXR khi x=y=z=$\sqrt{2}$$\sqrt{2}$

[Dinh Xuan Hung]

 

Bài 2: Cho x,y,z$\epsilon \mathbb{R}$ và $x,y,z\geq 0$.Chứng minh

$\frac{x^{2}-z^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}-x^{2}}{z+x}+\frac{x^{2}-y^{z}}{x+y}$$\geq 0$

Do vai trò bình đẳng khi hoán vị vòng quanh của các số x,y,z trong bài toán nên ta có thể giả sử $\left\{\begin{matrix} y\geq z & & \\ x\geq z& & \end{matrix}\right.$

Ta có:$\sum \frac{x^2-z^2}{y+z}= \frac{x^2-y^2+y^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-x^2}{z+x}+\frac{z^2-y^2}{x+y}=(x^2-y^2)(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{z+x})+(y^2-z^2)(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+y})=\frac{(x+y)(x-y)^2}{(y+z)(z+x)}+\frac{(y^2-z^2)(x-z)}{(y+z)(x+y)}\geq 0$

DBXR khi x=y=z

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 20-02-2015 - 15:57

[vuliem1987]

Bài 2. Nếu không sử dụng vai trò bình đẳng của các số x, y, z để giả sử, ta có thể chứng minh bài toán như sau

BĐT cần chứng minh tương đương với  $x^{2}\left ( \frac{1}{y+z}-\frac{1}{z+x} \right )+y^{2}\left ( \frac{1}{z+x}-\frac{1}{x+y} \right )+z^{2}\left ( \frac{1}{x+y}-\frac{1}{y+z} \right )\geq 0$

Quy đồng khử mẫu đưa về BĐT sau  $x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}$

BĐT cơ bản này có nhiều cách giải.