Cho dãy (Un) xác định bởi $u_{1}=\frac{1}{2}; u_{n+1}=\frac{1}{2-u_{n}}$
a) Chứng minh (Un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng
b) Suy ra (Un) có giới hạn và tính giới hạn đó
Sao không ai làm bài này!
$u_{2}=\frac{2}{3};u_{3}=\frac{3}{4}$
Giả sử $u_{n}< 1$
Ta có $u_{n+1}=\frac{1}{2-u_{n}}\leq \frac{1}{2-1}=1$
Quy nạp, $u_{n}< 1 \forall n\in \mathbb{N}$
Khi đó $u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{2-u_{n}}-u_{n}=\frac{\left ( 1-u_{n} \right )^{2}}{2-u_{n}}> 0\Rightarrow u_{n+1}> u_{n}$
Nên dãy số trên là dãy tăng.
Mặt khác dãy số này bị chặn trên bởi 1 nên tồn tại giới hạn hữu hạn
Gọi giới hạn đó là $L$
Cho $n\rightarrow +\infty \Rightarrow L=\frac{1}{2-L}\Rightarrow L=2$