Chủ đề này có 3 trả lời

[xusy]

Cho a,b,c là các số dương, CMR: 

T=$\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+b+a}\leq 3/5$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 21-02-2015 - 21:51

[Chung Anh]

Cho a,b,c là các số dương, CMR: 

T=$\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+b+a}\leq 3/5$

Áp dụng bất đẳng thức X-vác $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{x+y} $

Ta có $\frac{a}{3a+b+c}=\frac{(\frac{2}{5}\sqrt{a}+\frac{3}{5}\sqrt{a})^2}{2a+(a+b+c)}\leq \frac{(\frac{2}{5}\sqrt{a})^2}{2a}+\frac{(\frac{3}{5}\sqrt{a})^2}{a+b+c}=\frac{2}{25}+\frac{9a}{25(a+b+c)} $

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại có

$ T\leq \frac{2}{25}+\frac{9a}{25(a+b+c)}+\frac{2}{25}+\frac{9b}{25(a+b+c)}+\frac{2}{25}+\frac{9c}{25(a+b+c)}=\frac{6}{25}+\frac{9(a+b+c)}{25(a+b+c)}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra $<=> a=b=c$

[Dinh Xuan Hung]

Cho a,b,c là các số dương, CMR: 

T=$\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+b+a}\leq 3/5$

ĐẶT $\left\{\begin{matrix} 3a+b+c=x & & & \\ 3b+a+c=y & & & \\ 3c+a+b=z& & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x+y+z=5(a+b+c)=5(x-2a)=5(y-2b)=5(z-2c) \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{4x-y-z}{10}& & & \\ y=\frac{4y-z-x}{10}& & & \\ z=\frac{4z-x-y}{10}& & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{3a+b+c}= \frac{6}{5}-\frac{1}{10}(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\leq \frac{6}{5}-\frac{1}{10}(2+2+2)= \frac{3}{5}$

[KietLW9]

Cho a,b,c là các số dương, CMR: 

T=$\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+b+a}\leq 3/5$

Ta có: 

$VP-VT=\frac{2}{5}\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{(3a+b+c)(3b+c+a)}\geqslant 0$