Đến nội dung

Hình ảnh

$P=\frac{(a+b+c)^{2}}{5}+\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3abc}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{7(ab+bc+ca)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
vanhieu9779

vanhieu9779

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 152 Bài viết

Cho các số thực a,b,c>0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm min:

$P=\frac{(a+b+c)^{2}}{5}+\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3abc}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{7(ab+bc+ca)}$


:ukliam2:  :oto: :ukliam2:   :oto: :ukliam2:   :oto: :ukliam2:   :oto: :ukliam2:   :oto: :ukliam2:   :oto:   :ukliam2:


#2
viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết

Ta có:$\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} \ge \frac{9}{{ab + bc + ca}} \ge 3$

            $ \Leftrightarrow a + b + c \ge 3abc$

Vì ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 3$ nên ta có:
$P - \frac{{93}}{{35}} = \left[ {\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{5} - \frac{9}{5}} \right] + \left( {\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{3abc}} - 1} \right) + \left[ {\frac{1}{7} - \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{7(ab + bc + ca)}}} \right]$
$ = \left[ {\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{5} - \frac{{3({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{5}} \right] + \left( {\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{3abc}} - 1} \right) + \left[ {\frac{1}{7} - \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{7(ab + bc + ca)}}} \right]$
$\,\,\, = \left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right]\left[ {\frac{{ - 1}}{5} + \frac{{a + b + c}}{{6abc}} - \frac{1}{{14(ab + bc + ca)}}} \right]$
Đặt p = a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc ta có:$p \ge 3r$
Ta đi chứng minh:$\frac{p}{{6r}} - \frac{1}{{14q}} - \frac{1}{5} > 0$

Thật vậy ta có:

$\frac{p}{{6r}} - \frac{1}{{14q}} - \frac{1}{5} > 0$

$ \Leftrightarrow \frac{{7pq - 3r}}{{42qr}} > \frac{1}{5}$

$ \Leftrightarrow 35pq - 15r > 42qr$

$ \Leftrightarrow 35pq > 15r + 42qr$(đúng vì $pq \ge 9r \Rightarrow \frac{5}{3}pq \ge 15r$ và $p \ge 3r \Rightarrow pq \ge 3qr \Rightarrow 14pq \ge 42qr$)

Suy ra $P \ge \frac{{93}}{{35}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.

Vậy GTNN của P là $\frac{93}{35}$ xay ra ki và chỉ khi a=b=c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 22-02-2015 - 14:18

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#3
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

 

Ta có:$\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} \ge \frac{9}{{ab + bc + ca}} \ge 3$

            $ \Leftrightarrow a + b + c \ge 3abc$

Vì ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 3$ nên ta có:
$P - \frac{{93}}{{35}} = \left[ {\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{5} - \frac{9}{5}} \right] + \left( {\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{3abc}} - 1} \right) + \left[ {\frac{1}{7} - \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{7(ab + bc + ca)}}} \right]$
$ = \left[ {\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{5} - \frac{{3({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{5}} \right] + \left( {\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{3abc}} - 1} \right) + \left[ {\frac{1}{7} - \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{7(ab + bc + ca)}}} \right]$
$\,\,\, = \left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right]\left[ {\frac{{ - 1}}{5} + \frac{{a + b + c}}{{6abc}} - \frac{1}{{14(ab + bc + ca)}}} \right]$
Đặt p = a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc ta có:$p \ge 3r$
Ta đi chứng minh:$\frac{p}{{6r}} - \frac{1}{{14q}} - \frac{1}{5} > 0$

Thật vậy ta có:

$\frac{p}{{6r}} - \frac{1}{{14q}} - \frac{1}{5} > 0$

$ \Leftrightarrow \frac{{7pq - 3r}}{{42qr}} > \frac{1}{5}$

$ \Leftrightarrow 35pq - 15r > 42qr$

$ \Leftrightarrow 35pq > 15r + 42qr$(đúng vì $pq \ge 9r \Rightarrow \frac{5}{3}pq \ge 15r$ và $p \ge 3r \Rightarrow pq \ge 3qr \Rightarrow 14pq \ge 42qr$)

Suy ra $P \ge \frac{{93}}{{35}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.

Vậy GTNN của P là $\frac{93}{35}$ xay ra ki và chỉ khi a=b=c=1

 

 

Đặt $x=ab+bc+ca\in [0,3]$. 

Theo bất đẳng thức Chevbyshev: $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3abc}\geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{(ab+bc+ca)^2}$

Do đó: $P\geqslant \dfrac{3+2x}{5}+\dfrac{3+2x}{x^2}+\dfrac{3}{7x}=\dfrac{(x-3)\left[2(x-3)(7x+1)-29\right]}{35x^2}+\dfrac{309}{105}\geqslant \dfrac{309}{105}$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#4
viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết

93/35 bé hơn mà. -3/7x mà


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 23-02-2015 - 15:36

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh