2,Cho tam giác ABC có $BC=a,AC=b,AB=c$. $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.Chứng minh $\frac{IA^{2}}{bc}+\frac{IB^{2}}{ac}+\frac{IC^{2}}{ab}=1$
Từ $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với $IA$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$.
Ta có: $\widehat{ABI}+\widehat{BCI}+\widehat{MAI}=90^{\circ}$
Xét $\Delta AIM$, ta có: $\widehat{BAI}+\widehat{AMI}=90^{\circ}$
Do đó, $\widehat{AMI}=\widehat{ABI}+\widehat{BCI}$
$=\widehat{ABI}+\widehat{BIM}$ (tc góc ngoài tam giác của $\Delta BMI$)
=> $\widehat{BIM}=\widehat{BCI}$
=> $\Delta BMI\sim\Delta BIC$ ($g.g$)
=> $IB^2=BM.BC$
=> $\frac{IB^2}{ac}=\frac{BM}{AB}$
Tương tự $\frac{IC^2}{ab}=\frac{CN}{AC}$
Do đó, $\frac{IA^2}{bc}+\frac{IB^2}{ac}+\frac{IC^2}{ab}=1$
<=> $\frac{IA^2}{AB.AC}+\frac{BM}{AB}+\frac{CN}{AC}=1$
<=> $IA^2+BM.AC+CN.AB=AB.AC$
<=> $AM^2-IM^2+BM.(AN+CN)+CN(AM+BM)=(BM+AM)(AN+CN) (1)$
Đặt $BM=x; CN=y; AM=AN=z.$ và chú ý $IM^2=BM.CN$ (Dễ dàng chứng minh $\Delta BMI\sim\Delta INC$)
Ta có $(1)$ <=> $z^2-xy+x(z+y)+y(z+x)=(x+z)(y+z)$
<=> $z^2+xy+zx+zy=z^2+xy+zx+zy$ (Luôn đúng)
=> $Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 23-02-2015 - 11:40