Chủ đề này có 1 trả lời

[eminemdech]

Chứng minh: Nếu  $a^2+b^2\vdots p$ và p là số nguyên tố có dạng $4k+3$ thì $a\vdots b$ và $b\vdots p$

[lethanhson2703]

TH1: Nếu tồn tại một số chia hết cho $p$ thì số còn lại cũng chia hết cho $p$

TH2: Nếu không có số nào chia hết cho $p$ thì $(a,p)=(b,p)=1$

Theo định lý Fermat thì $a^{p-1}\equiv 1 (mod p)$ và $b^{p-1}\equiv 1 (mod p)$ 

Hay $a^{4k+2}\equiv 1 (mod p)$ và $b^{4k+2}\equiv 1 (mod p)$

Suy ra $a^{4k+2} + b^{4k+2}\equiv 2 (mod p)$

Mà $a^{4k+2} + b^{4k+2}$ chia hết cho $a^2+b^2$ 

Suy ra $2\vdots p$ mà $p=4k+3$ là số lẻ suy ra điều vô lý

Vậy Th này không xảy ra