Cho $a,b,c$ là các số dương. CMR: $\frac{3a^{4}+1}{b+c}+\frac{3b^{4}+1}{c+a}+\frac{3c^{4}+1}{a+b}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
CMR: $\frac{3a^{4}+1}{b+c}+\frac{3b^{4}+1}{c+a}+\frac{3c^{4}+1}{a+b}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Bắt đầu bởi chatditvit, 23-02-2015 - 13:16
#2
Đã gửi 23-02-2015 - 13:27
vda2000
-
- Thành viên
-
- 301 Bài viết
Sĩ quan
Cho $a,b,c$ là các số dương. CMR: $\frac{3a^{4}+1}{b+c}+\frac{3b^{4}+1}{c+a}+\frac{3c^{4}+1}{a+b}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ với $4$ số dương, ta có:
$a^4+a^4+a^4+1\geq 4.\sqrt[4]{a^4.a^4.a^4.1}$
=> $3a^4+1\geq 4a^3$
=> $\sum\frac{3a^4+1}{b+c}\geq\sum\frac{4a^3}{b+c}=\sum\frac{4a^4}{ab+ac}\geq\frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}\geq 2(a^2+b^2+c^2)$.
Giải thích: Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ và bất đẳng thức phụ quen thuộc $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$
- minhduc2000, Messi10597, chatditvit và 1 người khác yêu thích
$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$
If you see this, you will visit my facebook.....!
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
