Cho $x,y,z>0$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ Chứng minh $(1-\frac{1}{x^{2}+1})(1-\frac{1}{y^{2}+1})(1-\frac{1}{z^{2}+1})>\frac{1}{2}$
Chứng minh $(1-\frac{1}{x^{2}+1})(1-\frac{1}{y^{2}+1})(1-\frac{1}{z^{2}+1})>\frac{1}{2}$
Bắt đầu bởi yeutoanmaimai1, 23-02-2015 - 15:35
#2
Đã gửi 23-02-2015 - 17:04
vda2000
-
- Thành viên
-
- 301 Bài viết
Sĩ quan
Cho $x,y,z>0$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ Chứng minh $(1-\frac{1}{x^{2}+1})(1-\frac{1}{y^{2}+1})(1-\frac{1}{z^{2}+1})>\frac{1}{2}$
$Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ với $2$ số, ta có:
$x^2+1\geq 2x$
=> $\frac{1}{x^2+1}\leq\frac{1}{2x}$
=> $1-\frac{1}{x^2+1}\geq 1-\frac{1}{2x}$
=> $A=(1-\frac{1}{x^2+1})(1-\frac{1}{y^2+1})(1-\frac{1}{z^2+1})\geq(1-\frac{1}{2x})(1-\frac{1}{2y})(1-\frac{1}{2z})$
=> $A\geq 1-\frac{1}{2x}-\frac{1}{2y}-\frac{1}{2z}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4yz}+\frac{1}{4zx}-\frac{1}{8xyz}$
=> $A\geq 1-\frac{1}{2}+\frac{2x+2y+2z-1}{8xyz}>\frac{1}{2}$ ( vì từ gt => $x,y,z>1$=>$2x+2y+2z-1>0$)
=> $Q.E.D$
- yeutoanmaimai1 và Linhh Chii thích
$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$
If you see this, you will visit my facebook.....!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
