Chủ đề này có 8 trả lời

[Viet Hoang 99]

cmr $61[(a+b)^6+(b+c)^6+(c+a)^6]\ge 16(a^6+b^6+c^6)$ với a,b,c thực

[TMW]

cmr $61[(a+b)^6+(b+c)^6+(c+a)^6]\ge 16(a^6+b^6+c^6)$ với a,b,c thực

Có ràng buộc phương pháp không nhỉ

[Viet Hoang 99]

Có ràng buộc phương pháp không nhỉ

Bạn dùng tương đương xem?

[khanghaxuan]

cmr $61[(a+b)^6+(b+c)^6+(c+a)^6]\ge 16(a^6+b^6+c^6)$ với a,b,c thực

 

Giả sử $a=min\begin{Bmatrix} a;b;c \end{Bmatrix}$

 

Đặt :  $\left\{\begin{matrix} b=a+x & \\ c=a+y & \end{matrix}\right.$  (  $x,y>0$)

 

ĐPCM tương đương :   $61\begin{bmatrix} (2a+x)^{6}+(2a+y)^{6}+(2a+x+y)^{6} \end{bmatrix}\geq 16\begin{bmatrix} a^{6}+(a+x)^{6}+(a+y)^{6} \end{bmatrix}$

 

        $\Leftrightarrow$.......... 

 

 $\Leftrightarrow f(a)=11664a^{6}+23328a^{5}.A+a^{4}.B+a^{3}C+a^{2}D+a.E+F\geq 0$  (ở đây $a\leq 0$)

 

trong đó :  
 

$A=x+y$

$B=29040(x^{2}+y^{2})+29280xy$

$C=19200(x^{3}+y^{3})+29280xy(x+y)$

$D=7080(x^{4}+y^{4})+3660(4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3})$

$E=1368(x^{5}+y^{5})+732(5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4})$

$F=106(x^{6}+y^{6})+61(6xy(x^{4}+y^{4})+15x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})+20x^{3}y^{3})$

 

Do $a\leq 0$ nên ta đặt $-a=t$ với $t\geq 0$

Sau đó dùng đạo hàm (vài lần ) để chứng minh $f(a)\geq f(0)\geq 0$  (với a\leq 0)

[Nguyen Duc Phu]

Bài của bạn giải ở đây này.

[hoctrocuaZel]

Ai Vietsub  lời giải của bạn A.G vs!

Khó hiểu quá

[khanghaxuan]

Cái pp đặt đó đó là sao ? ?? 

[dogsteven]

Cái pp đặt đó đó là sao ? ?? 

Nếu như ta chuyển bất đẳng thức về một hàm đồng biến theo $r$ thì ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi hai biến bằng nhau. (Định lý ABC chứng minh bằng đại lượng $(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$ hoặc bằng khảo sát hàm số) Định lý này dùng ở các bài toán mạnh.

Ở đây, họ chuyển bất đẳng thức về dạng hàm số bậc nhất theo $r$, hay theo $w^3$. Khi đó thì ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $b=c$ và chuẩn hóa $b=c=1$

Lưu ý ở đây $3v^2=ab+bc+ca$ và nếu $ab+bc+ca<0$ thì $v$ là số phức. Chính là thiếu sót của cách đặt trên.

[TMW]

Dùng phương pháp tiếp tuyến lời giải cũng khá đơn giản