Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{3}(b+c)} +\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
tahuudang8c

tahuudang8c

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{3}(b+c)} +\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$



#2
Messi10597

Messi10597

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 410 Bài viết

$VT=\frac{\frac{1}{a^{2}}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^{2}}}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{c^{2}}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right )\geq \frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{2}$



#3
AnhNgoc030201

AnhNgoc030201

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

Đây là bài trong trận 9 Marathon 2014

 

http://diendantoanho...-bất-đẳng-thức/



#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{3}(b+c)} +\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z>0 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$

Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+y\geqslant z+x\geqslant y+z>0 & \\ \frac{x}{y+z}\geqslant \frac{y}{z+x}\geqslant \frac{z}{x+y}>0 & \end{matrix}\right.$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng chiều và ngược chiều, ta được: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{1}{3}(x+y+z)(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})=\frac{1}{6}[(y+z)+(z+x)+(x+y)](\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})\geqslant \frac{1}{6}.3.[\frac{x}{y+z}.(y+z)+\frac{y}{z+x}.(z+x)+\frac{z}{x+y}.(x+y)]=\frac{x+y+z}{2}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 05-05-2021 - 15:58

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh