Chủ đề này có 2 trả lời

[duaconcuachua98]

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{\sqrt{b+c-a}}+\frac{b}{\sqrt{c+a-b}}+\frac{c}{\sqrt{a+b-c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

 

 

[hoanglong2k]

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{\sqrt{b+c-a}}+\frac{b}{\sqrt{c+a-b}}+\frac{c}{\sqrt{a+b-c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Áp dụng bất đẳng thức Holder:

$\sum \frac{a}{\sqrt{b+c-a}}.\sum \sqrt{b+c-a}.\sum \sqrt{a}\geq (\sum \sqrt{a})^3$

Nên ta chỉ cần chứng minh $\sum \sqrt{b+c-a}\leq \sum \sqrt{a}$

Đặt $(2x,2y,2z)=(b+c-a,a+c-b,a+b-c)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=y+z\\ b=x+z\\ c=x+y \end{matrix}\right.$

Bất đẳng thức viết lại: $\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\leq \sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\Leftrightarrow \sum 2\sqrt{xy}\leq \sum \sqrt{(x+y)(y+z)}$

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz: $\sum \sqrt{(x+y)(y+z)}\geq \sum (\sqrt{xy}+\sqrt{yz})=\sum 2\sqrt{xy}$

Vậy có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi các biến bằng nhau

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 25-02-2015 - 21:48

[hoanglong2k]

Second Solution ( Cách này có vẻ dễ hiểu hơn )

Cauchy-Schwarz: $\sum \frac{a}{\sqrt{b+c-a}}\geq \frac{(\sum \sqrt{a})^2}{\sum \sqrt{b+c-a}}$

Mà: $\sqrt{b+c-a}+\sqrt{a+b-c}\leq 2\sqrt{b}$

Thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm