Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a, b, c, x, y, z nguyên dương ... Chứng minh rằng $xyz-x-y-z=2$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hanh7a2002123

hanh7a2002123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết

Cho a, b, c, x, y, z nguyên dương và $a,b,c\neq 1$ thỏa mãn $a^{x}=bc;b^{y}=ca;c^{z}=ab$

Chứng minh rằng $xyz-x-y-z=2$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 25-02-2015 - 21:12

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow.


#2
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

Cho a, b, c, x, y, z nguyên dương và $a,b,c\neq 1$ thỏa mãn $a^{x}=bc;b^{y}=ca;c^{z}=ab$

Chứng minh rằng $xyz-x-y-z=2$

Theo đề ra ta có: $a^{x}+b^{y}+c^{z}=ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}.$ Để bất đẳng thức này luôn đúng thì $x, y, z\leq 2$ và $x=y=z,$ mà $x, y, z$ nguyên dương nên $x=y=z=2$ hoặc $x=y=z=1.$

Với $x=y=z=2$ thì $xyz-x-y-z=2^{3}-2-2-2=2$ (đpcm).

Với $x=y=z=1$ thì $\left\{\begin{matrix} a=bc & & & \\ b=ca & & & \\ c=ab & & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow abc=(abc)^{2}\Leftrightarrow abc(abc-1)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} abc=0 (loại) & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$

Ta xét $abc=1,$ mà từ giả thiết ta dễ dàng suy ra $a, b, c$ hoán vị vòng quanh nên $a=b=c=1$ (loại vì $a, b, c\neq 1).$ Vậy $xyz-x-y-z=2.$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh