Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\sum a^2\sum \frac{1}{\left ( b-c \right )^2}\geq \frac{9}{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Cho các số thực phân biệt a, b, c. Chứng minh

                             $\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left [ \frac{1}{\left ( a-b \right )^2}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^2}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$


  • TMW yêu thích

#2
TMW

TMW

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết

Cho các số thực phân biệt a, b, c. Chứng minh

                             $\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left [ \frac{1}{\left ( a-b \right )^2}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^2}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$

Thanks. Bài toán rất thú vị. Bạn post lời giải cùng trao đổi nhé :P



#3
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Cho các số thực phân biệt a, b, c. Chứng minh

                             $\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left [ \frac{1}{\left ( a-b \right )^2}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^2}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$

Ta có:$\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b}=-1$

$\sum (\frac{a+b}{a-b})^2\geq -2(\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b})=2$

Ta có:$\sum \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)^2}=\sum \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)^2}=\sum \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+3\geq 5$

Mặt khác:

$(\frac{a}{b-c}+1)(\frac{b}{c-a}+1)(\frac{c}{a-b}+1)=(\frac{a}{b-c}-1)(\frac{b}{c-a}-1)(\frac{c}{a-b}-1)\Rightarrow\sum ( \frac{a}{b-c}.\frac{b}{c-a})=-1\Rightarrow \sum (\frac{a}{b-c})^2\geq -2(\sum \frac{a}{b-c}.\frac{b}{c-a})=2$

Do đó:

$(a^2+b^2+c^2)[\sum \frac{1}{(a-b)^2}]=(\sum \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2})+(\sum \frac{a^2}{(b-c)^2})\geq \frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 26-02-2015 - 18:33


#4
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

Ta có:$\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{c-a}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b}=-1$

$\sum (\frac{a+b}{a-b})^2\geq -2(\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{c-a}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b})=2$

Ta có:$\sum \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)^2}=\sum \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)^2}=\sum \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+3\geq 5$

Mặt khác:

$(\frac{a}{b-c}+1)(\frac{b}{c-a}+1)(\frac{c}{a-b}+1)=(\frac{a}{b-c}-1)(\frac{b}{c-a}-1)(\frac{c}{a-b}-1)\Rightarrow\sum ( \frac{a}{b-c}.\frac{b}{c-a})=-1\Rightarrow \sum (\frac{a}{b-c})^2\geq -2(\sum \frac{a}{b-c}.\frac{b}{c-a})=2$

Do đó:

$(a^2+b^2+c^2)[\sum \frac{1}{(a-b)^2}]=(\sum \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2})+(\sum \frac{a^2}{(b-c)^2})\geq \frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}$

Chỗ này sai khi cho $a=-1;b=0,1 ; c=2$


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#5
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Chỗ này sai khi cho $a=-1;b=0,1 ; c=2$

Nhầm đã sửa



#6
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

Nhầm đã sửa

Cách khác :  

Nếu $a,b,c\geq 0$ thì ta có cách chứng minh khá đẹp sau đây 

Giả sử :  $c=min\begin{Bmatrix} a;b;c \end{Bmatrix}$

 

Đặt :  $\left\{\begin{matrix} (a-b)^{2}=x & \\ (a-c)(b-c)=y& \end{matrix}\right.$  ( $x,y\geq 0$)

 

Ta có :  $a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-b)^{2}+(a-c)(b-c)+ab+bc+ca\geq (a-b)^{2}+2(a-c)(b-c)=x+2y$

 

$\sum \frac{1}{(a-b)^{2}}=(\frac{1}{a-b}+\frac{a-b}{(b-c)(a-c)})^{2}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{y}+\frac{x}{y^{2}}$

 

Ta có :  $VT\geq (x+2y)(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{x}{y^{2}})=t^{2}+\frac{2}{t}+4t+5$  ( trong đó $t=\frac{x}{y}>0$ )

 

Mặt khác : $f^{'}(t)=2t-\frac{2}{t^{2}}+4=0\Leftrightarrow t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 

 

Nên $VT\geq f(t)\geq f(\frac{\sqrt{5}-1}{2})=\frac{11+5\sqrt{55}}{2}\geq \frac{9}{2}$

 

Vậy Ta chứng ming xong !!!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 26-02-2015 - 18:59

Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh