Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\geq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 thanhxacon01

thanhxacon01

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 26-02-2015 - 13:31

1. Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\geq 3$

2. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: $\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\geq a+b+c$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 26-02-2015 - 16:53


#2 thanhxacon01

thanhxacon01

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 26-02-2015 - 13:39

3. Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Chứng minh $abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geq 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhxacon01: 26-02-2015 - 13:39


#3 nangcuong8e

nangcuong8e

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

Đã gửi 26-02-2015 - 14:00

1. Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\geq 3$

 

 Ta có: $\frac{a+1}{b^2 +1} = a +1 -\frac{b^2(a+1)}{b^2+1} \geq a+1 -\frac{b^2(a+1)}{2b}$
$\Rightarrow \frac{a+1}{b^2+1} \geq a +1 -\frac{ab +b}{2}$
 Tương tự, ta cũng có $\frac{b+1}{c^2+1} \geq b +1 -\frac{cb +c}{2}; \frac{c+1}{a^2+1} \geq c +1 -\frac{ac +c}{2}$
$\Rightarrow \frac{a+1}{b^2+1} +\frac{b+1}{c^2+1} +\frac{c+1}{a^2+1} \geq a +b +c +3 -\frac{a+b+c+ab+bc+ca}{2} \geq a+b+c +3 -\frac{2(a+b+c)}{2}$
$\Rightarrow \frac{a+1}{b^2+1} +\frac{b+1}{c^2+1} +\frac{c+1}{a^2+1} \geq 3$
   Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow  a=b=c=1$



#4 Ann Vii

Ann Vii

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hai Bà Trưng, Hà Nội
  • Sở thích:Ts, chơi, lens,học toán

Đã gửi 26-02-2015 - 19:27

 Ta có: $\frac{a+1}{b^2 +1} = a +1 -\frac{b^2(a+1)}{b^2+1} \geq a+1 -\frac{b^2(a+1)}{2b}$
$\Rightarrow \frac{a+1}{b^2+1} \geq a +1 -\frac{ab +b}{2}$
 Tương tự, ta cũng có $\frac{b+1}{c^2+1} \geq b +1 -\frac{cb +c}{2}; \frac{c+1}{a^2+1} \geq c +1 -\frac{ac +c}{2}
$\Rightarrow \frac{a+1}{b^2+1} +\frac{b+1}{c^2+1} +\frac{c+1}{a^2+1} \geq a +b +c +3 -\frac{a+b+c+ab+bc+ca}{2} \geq a+b+c +3 -\frac{2(a+b+c)}{2}$    (***)
$\Rightarrow \frac{a+1}{b^2+1} +\frac{b+1}{c^2+1} +\frac{c+1}{a^2+1} \geq 3$
   Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow  a=b=c=1$

 

Tại sao bạn lại suy ra được ở chỗ *** như thế??? hình như bn làm sai r bước đó r


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ann Vii: 26-02-2015 - 19:29


#5 GeminiKid

GeminiKid

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-02-2015 - 20:32

 

2. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: $\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\geq a+b+c$

$đặt x=a+b-c,y=b+c-a,z=c+a-b(x,y,z>0)$

BĐT viết lại thành$ \frac{\left ( x+z \right )\left ( x+y \right )}{4x}+\frac{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )}{4y}+\frac{\left ( y+z \right )\left ( x+z \right )}{4z}\geq x+y+z$

Có $4VT= 3\left ( x+y+z \right )+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}$

ta cm $\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\geq x+y+z(*)$

 có$ \frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}= z\left ( \frac{z}{y}+\frac{y}{z} \right )\geq 2x$ thiết lập các bđt tg tự=> bđt(*) đúng

=> bđt cần cm đúng



#6 chatditvit

chatditvit

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 26-02-2015 - 20:34

Tại sao bạn lại suy ra được ở chỗ *** như thế??? hình như bn làm sai r bước đó r

Do: $\sum ab\leq \frac{(a+b+c^2)}{3}\rightarrow \sum ab\leq 3 \rightarrow -\frac{a+b+c+ab+bc+ca}{2}\geq -\frac{2(a+b+c)}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chatditvit: 26-02-2015 - 20:35


#7 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Thành viên
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 26-02-2015 - 20:48

3. Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Chứng minh $abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geq 0$

Ta có: $GT\Rightarrow a,b,c\in [-1;1]\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq 0\Rightarrow abc+a+b+c+ab+bc+ca+1\geq 0$

Lại có: $(a+b+c+1)^2\geq 0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+1+2a+2b+2c+2d+2ab+2bc+2ca\geq 0\Rightarrow 1+a+b+c+ab+bc+ca\geq 0$

Cộng 2 bđt trên ta được đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 26-02-2015 - 20:52


#8 chatditvit

chatditvit

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 26-02-2015 - 20:48

3. Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Chứng minh $abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geq 0$

Do: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ $\rightarrow a,b,c\geq -1$ $\rightarrow (1+a)(1+b)(1+c)\geq 0 \rightarrow 1+\sum a+\sum ab+abc\geq 0.$

Mặt khác, ta có:$2(1+\sum a+\sum ab)=2(\sum a^2+\sum a+\sum ab)=2\sum a^2+2\sum a+2\sum ab=(\sum a)^2+2\left ( \sum a \right )+1=\left ( \sum a+1 \right )^2\geq 0$ $\rightarrow Q.E.D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chatditvit: 26-02-2015 - 20:49


#9 chatditvit

chatditvit

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 26-02-2015 - 20:51

Ta có: $GT\Rightarrow a,b,c\in [-1;1]\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\leq 0\Rightarrow abc+a+b+c+ab+bc+ca+1\geq 0$

Lại có: $(a+b+c+1)^2\geq 0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+1+2a+2b+2c+2d+2ab+2bc+2ca\geq 0\Rightarrow 1+a+b+c+ab+bc+ca\geq 0$

Cộng 2 bđt trên ta được đpcm

Lẽ ra phải là lớn hơn chứ bạn!






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh