Chủ đề này có 8 trả lời

[thanhxacon01]

1. Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\geq 3$

2. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: $\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\geq a+b+c$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 26-02-2015 - 16:53

[thanhxacon01]

3. Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Chứng minh $abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhxacon01: 26-02-2015 - 13:39

[nangcuong8e]

1. Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\geq 3$

 

 Ta có: $\frac{a+1}{b^2 +1} = a +1 -\frac{b^2(a+1)}{b^2+1} \geq a+1 -\frac{b^2(a+1)}{2b}$
$\Rightarrow \frac{a+1}{b^2+1} \geq a +1 -\frac{ab +b}{2}$
 Tương tự, ta cũng có $\frac{b+1}{c^2+1} \geq b +1 -\frac{cb +c}{2}; \frac{c+1}{a^2+1} \geq c +1 -\frac{ac +c}{2}$
$\Rightarrow \frac{a+1}{b^2+1} +\frac{b+1}{c^2+1} +\frac{c+1}{a^2+1} \geq a +b +c +3 -\frac{a+b+c+ab+bc+ca}{2} \geq a+b+c +3 -\frac{2(a+b+c)}{2}$
$\Rightarrow \frac{a+1}{b^2+1} +\frac{b+1}{c^2+1} +\frac{c+1}{a^2+1} \geq 3$
   Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow  a=b=c=1$

[Ann Vii]

 Ta có: $\frac{a+1}{b^2 +1} = a +1 -\frac{b^2(a+1)}{b^2+1} \geq a+1 -\frac{b^2(a+1)}{2b}$
$\Rightarrow \frac{a+1}{b^2+1} \geq a +1 -\frac{ab +b}{2}$
 Tương tự, ta cũng có $\frac{b+1}{c^2+1} \geq b +1 -\frac{cb +c}{2}; \frac{c+1}{a^2+1} \geq c +1 -\frac{ac +c}{2}
$\Rightarrow \frac{a+1}{b^2+1} +\frac{b+1}{c^2+1} +\frac{c+1}{a^2+1} \geq a +b +c +3 -\frac{a+b+c+ab+bc+ca}{2} \geq a+b+c +3 -\frac{2(a+b+c)}{2}$    (***)
$\Rightarrow \frac{a+1}{b^2+1} +\frac{b+1}{c^2+1} +\frac{c+1}{a^2+1} \geq 3$
   Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow  a=b=c=1$

 

Tại sao bạn lại suy ra được ở chỗ *** như thế??? hình như bn làm sai r bước đó r

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ann Vii: 26-02-2015 - 19:29

[GeminiKid]

 

2. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: $\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\geq a+b+c$

$đặt x=a+b-c,y=b+c-a,z=c+a-b(x,y,z>0)$

BĐT viết lại thành$ \frac{\left ( x+z \right )\left ( x+y \right )}{4x}+\frac{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )}{4y}+\frac{\left ( y+z \right )\left ( x+z \right )}{4z}\geq x+y+z$

Có $4VT= 3\left ( x+y+z \right )+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}$

ta cm $\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\geq x+y+z(*)$

 có$ \frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}= z\left ( \frac{z}{y}+\frac{y}{z} \right )\geq 2x$ thiết lập các bđt tg tự=> bđt(*) đúng

=> bđt cần cm đúng

[chatditvit]

Tại sao bạn lại suy ra được ở chỗ *** như thế??? hình như bn làm sai r bước đó r

Do: $\sum ab\leq \frac{(a+b+c^2)}{3}\rightarrow \sum ab\leq 3 \rightarrow -\frac{a+b+c+ab+bc+ca}{2}\geq -\frac{2(a+b+c)}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chatditvit: 26-02-2015 - 20:35

[hoanglong2k]

3. Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Chứng minh $abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geq 0$

Ta có: $GT\Rightarrow a,b,c\in [-1;1]\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq 0\Rightarrow abc+a+b+c+ab+bc+ca+1\geq 0$

Lại có: $(a+b+c+1)^2\geq 0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+1+2a+2b+2c+2d+2ab+2bc+2ca\geq 0\Rightarrow 1+a+b+c+ab+bc+ca\geq 0$

Cộng 2 bđt trên ta được đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 26-02-2015 - 20:52

[chatditvit]

3. Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Chứng minh $abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geq 0$

Do: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ $\rightarrow a,b,c\geq -1$ $\rightarrow (1+a)(1+b)(1+c)\geq 0 \rightarrow 1+\sum a+\sum ab+abc\geq 0.$

Mặt khác, ta có:$2(1+\sum a+\sum ab)=2(\sum a^2+\sum a+\sum ab)=2\sum a^2+2\sum a+2\sum ab=(\sum a)^2+2\left ( \sum a \right )+1=\left ( \sum a+1 \right )^2\geq 0$ $\rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chatditvit: 26-02-2015 - 20:49

[chatditvit]

Ta có: $GT\Rightarrow a,b,c\in [-1;1]\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\leq 0\Rightarrow abc+a+b+c+ab+bc+ca+1\geq 0$

Lại có: $(a+b+c+1)^2\geq 0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+1+2a+2b+2c+2d+2ab+2bc+2ca\geq 0\Rightarrow 1+a+b+c+ab+bc+ca\geq 0$

Cộng 2 bđt trên ta được đpcm

Lẽ ra phải là lớn hơn chứ bạn!