Chủ đề này có 3 trả lời

[ThienYet]

Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác không nhọn, với c là cạnh lớn nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất của

$P=\left( 1+\frac{a}{b} \right)\left( 1+\frac{b}{c} \right)\left( 1+\frac{c}{a} \right)$

[arsfanfc]

$\Leftrightarrow P=2+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})+(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})+(\frac{c}{b}+\frac{b}{c})$

Áp dụng CauChy ta có  $P\geq8$ 

dấu "=" xảy ra khi a=b=c hay $\Delta ABC$ đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 26-02-2015 - 19:35

[GeminiKid]

$\Leftrightarrow P=2+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})+(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})+(\frac{c}{b}+\frac{b}{c})$

Áp dụng CauChy ta có  $P\geq8$ 

dấu "=" xảy ra khi a=b=c hay $\Delta ABC$ đều

 

 

a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác KHÔNG NHỌN !!!

[viet nam in my heart]

Vì c là cạnh lớn nhất trong ba cạnh của tam giác thì $c^2\geq a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}\Rightarrow c\geq \frac{a+b}{\sqrt2}$

Kết hợp với BĐT AM-GM và Svac ta có:

$P=2+(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{2a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{2b})+\frac{1}{2}(\frac{c}{a}+\frac{c}{b})\geq 2+2+\sqrt2+\sqrt2+\frac{2c}{a+b}\geq 4+3\sqrt2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi tam giác vuông cân