Chủ đề này có 1 trả lời

[Myttomao]

Bài 1: Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y + 3xy = 5. Tìm GTNN của $P=\frac{x+1}{y^{2}+1}+\frac{y+1}{x^{2}+1}-\sqrt{9-5xy}$

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 26-02-2015 - 21:46

[viet nam in my heart]

Câu 1: Mình đổi biểu thức ở đè bài thành A cho đỡ trùng tên biến 

Đặt $A=\frac{x+1}{y^2+1}+\frac{y+1}{x^2+1}-9\sqrt{9-5xy}$

Đặt x+y = S, xy=P.Ta dễ dàng chứng minh được $S\geq 2,P\leq 1$

Khi đó  $A=\left ( \frac{x+1}{y^2+1}+ \frac{y+1}{x^2+1}-2\right )+\left ( 2-\sqrt{9-5xy} \right )=\frac{S^3-3SP-S^2+2P-2P^2+S}{P^2+S^2-2P+1}+\frac{5xy-5}{2+\sqrt{9-5xy}}$ 

Hay $A=\frac{S^3-3SP-S^2+2P-2P^2+S}{P^2+S^2-2P+1}+\frac{5(P-1)}{2+\sqrt{9-5P}}$(1)

Theo giả thiết ta có: $S+3P=5\Leftrightarrow S=5-3P$(2)

Thay (2) vào (1) thì ta có:$A=\frac{(1-P)(27P^2-106P+105)}{2(5P^2-16P+13)}+\frac{5(P-1)}{2+\sqrt{9-5P}}=(1-P)\left ( \frac{27P^2-106P+105}{2(5P^2-16P+13)} -\frac{1}{2+\sqrt{9-5P}}\right )$

Vì $\frac{1}{2+\sqrt{9-5P}}\leq \frac{1}{2}\Rightarrow -\frac{1}{2+\sqrt{9-5P}}\geq -\frac{1}{2}$ và $0 \leq P\leq 1$

Do đó: $A\geq (1-P)\left ( \frac{27P^2-106P+105}{2(5P^2-16P+13)} -\frac{1}{2}\right )=\frac{(1-P)(2-P)(23-11P)}{5P^2-6P+13}\geq 0$ với $0 \leq P\leq 1$

Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 26-02-2015 - 23:08