Chủ đề này có 2 trả lời

[Ann Vii]

Cho a,b,c là các số thực dương, abc=1. CMR $\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{3}{4}$

[nangcuong8e]

Cho a,b,c là các số thực dương, abc=1. CMR $\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{3}{4}$

 Ta có: Do $abc =1$ nên $a+b+c \geq 3$ và $ab +bc +ca \geq 3$
Lại có: $\frac{a}{(a+1)(b+1)} +\frac{b}{(c+1)(a+1)} +\frac{c}{(a+1)(b+1)} \geq \frac{3}{4}$
 $\Leftrightarrow  \frac{a+b+c +ab+bc+ca}{(a+1)(b+1)(c+1)} \geq \frac{3}{4}$
 $\Leftrightarrow  4(a+b+c +ab+bc+ca) \geq 3(a+1)(b+1)(c+1) =3(abc +ab +bc +ca +a+b+c +1)$
 $\Leftrightarrow  a+b+c +ab+bc+ca \geq 3abc +3 =6$ (đúng)
  Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 26-02-2015 - 23:23

[chatditvit]

Đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}.$

$\rightarrow VT=\sum \frac{\frac{x}{y}}{\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}}=\sum \frac{xz}{(x+y)(y+z)}=\sum \frac{x^2z^2}{xz(x+y)(y+z)}\geq \frac{(\sum xz)^2}{3xyz(\sum x)+\sum x^2z^2}=\frac{(\sum xz)^2}{(\sum xz)^2+xyz(\sum x)}\geq \frac{\left ( \sum xz \right )^2}{(\sum xz)^2+\frac{\left ( \sum xz \right )^2}{3}}=\frac{3}{4}$

Dấu $"= "$ xảy ra khi $a=b=c=1$