Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{3}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Ann Vii

Ann Vii

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hai Bà Trưng, Hà Nội
  • Sở thích:Ts, chơi, lens,học toán

Đã gửi 26-02-2015 - 23:01

Cho a,b,c là các số thực dương, abc=1. CMR $\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{3}{4}$



#2 nangcuong8e

nangcuong8e

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

Đã gửi 26-02-2015 - 23:22

Cho a,b,c là các số thực dương, abc=1. CMR $\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{3}{4}$

 Ta có: Do $abc =1$ nên $a+b+c \geq 3$ và $ab +bc +ca \geq 3$
Lại có: $\frac{a}{(a+1)(b+1)} +\frac{b}{(c+1)(a+1)} +\frac{c}{(a+1)(b+1)} \geq \frac{3}{4}$
 $\Leftrightarrow  \frac{a+b+c +ab+bc+ca}{(a+1)(b+1)(c+1)} \geq \frac{3}{4}$
 $\Leftrightarrow  4(a+b+c +ab+bc+ca) \geq 3(a+1)(b+1)(c+1) =3(abc +ab +bc +ca +a+b+c +1)$
 $\Leftrightarrow  a+b+c +ab+bc+ca \geq 3abc +3 =6$ (đúng)
  Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 26-02-2015 - 23:23


#3 chatditvit

chatditvit

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 26-02-2015 - 23:30

Đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}.$

$\rightarrow VT=\sum \frac{\frac{x}{y}}{\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}}=\sum \frac{xz}{(x+y)(y+z)}=\sum \frac{x^2z^2}{xz(x+y)(y+z)}\geq \frac{(\sum xz)^2}{3xyz(\sum x)+\sum x^2z^2}=\frac{(\sum xz)^2}{(\sum xz)^2+xyz(\sum x)}\geq \frac{\left ( \sum xz \right )^2}{(\sum xz)^2+\frac{\left ( \sum xz \right )^2}{3}}=\frac{3}{4}$

Dấu $"= "$ xảy ra khi $a=b=c=1$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh