Đến nội dung

Hình ảnh

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2014-2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

                    SỞ GIÁO DỤC VÀ TÀO ĐẠO                         KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

                                    HÀ TĨNH                                                            NĂM HỌC:2014-2015

                                                                                                                   Môn:TOÁN

                                                                                               Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                                                                      Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang

                        ĐỀ CHÍNH THỨC  

Câu 1:

a,Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{x+y} & & \\ xy=\sqrt{4y-3} & & \end{matrix}\right.$

b,Cho các số thực không âm $x,y$ thỏa mãn $x+y=2$.Chứng minh rằng : $2\leq \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\leq \sqrt{6}$

Câu 2:Với $n$ nguyên dương $(n\geq 2)$,đặt

$P_{n}=\left ( 1-\frac{1}{1+2} \right )\left ( 1-\frac{1}{1+2+3} \right )...\left ( 1-\frac{1}{1+2+3+...+n} \right )$

Tìm tất cả các số nguyên dương $n(n\geq 2)$ sao cho $\frac{1}{P_{n}}$ là số nguyên

Câu 3:Cho các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn $x^2+y^2=z^2$

a,Chứng minh $A=xy$ chia hết cho 12

b,Chứng minh $B=x^3y-xy^3$ chia hết cho 7

Câu 4:Cho đường tròn $(O)$.Lấy các điểm $A,B,C$ thuộc $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB>BC>AC$.Đường tròn tâm $C$,bán kính $CB$ cắt đường thẳng $AB$ và $(O)$ lần lượt tại $D$ và $E$ ($D,E$ khác $B$)

a,Chứng minh đường thẳng $DE$ vuông góc với đường thẳng $AC$.

b,Giả sử đường thẳng $DE$ cắt $(O)$ tại $F$ (khác $E$);các đường thẳng $CO,AB$ cắt nhau tại $G$ và các đường thẳng $BE,CF$ cắt nhau tại $K$.Chứng minh $\widehat{CKG}=\widehat{CBG}$

Câu 5:Bên trong hình chữ nhật kích thước $5\times 12$ cho $n$ điểm bất kỳ.

a,Với $n=11$,chứng minh trong số các điểm đã cho luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa hai điểm đó không lớn hơn $\sqrt{13}$

b,Kết luận trên còn đúng không khi $n=10$?Tại sao

                                                                                      HẾT                                                                                                                    

P/S:VÌ do lỗi của diễn đàn nên TOPIC trước kia bị mất nên mình lập lại TOPIC này.Mong mọi người thông cảm và cùng mình viết bài!

 



#2
tandatcr2000pro

tandatcr2000pro

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Câu 1

vì$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{xy}\Rightarrow x=y$

thay vào phương trình dưới$x^{2}=\sqrt{4x-3} \Leftrightarrow x^{4}-4x+3=0\Leftrightarrow (x-1)^{2}(x^{2}-2x+3)=0 \Leftrightarrow x=1 \Leftrightarrow x=y=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tandatcr2000pro: 11-03-2015 - 13:29

$0\vdots 0$


#3
lethanhson2703

lethanhson2703

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 297 Bài viết

Câu 5:

a. Chia bảng $5 \times 12$ thành 10 bảng con $2 \times 3$

Thì độ dài giữa hai điểm xa nhất đúng bằng $\sqrt{13}$

b. Chia bảng con thành 10 hình có dạng như sau 

Thì độ dài giữa hai điểm xa nhất đúng bằng $\sqrt{13}$

Không bít lm đúng không nữa :3

Hình gửi kèm

  • 2.png
  • 2.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethanhson2703: 11-03-2015 - 19:21


#4
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Câu 1

vì$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{xy}\Rightarrow x=y$

thay vào phương trình dưới$x^{2}=\sqrt{4x-3} \Leftrightarrow x^{4}-4x+3=0\Leftrightarrow (x-1)^{2}(x^{2}-2x+3)=0 \Leftrightarrow x=1 \Leftrightarrow x=y=1$

Muốn $x=y$ thì từ phương trình $(2)$ suy ra $x,y > 0$ trước đã 



#5
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Câu 3:Cho các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn $x^2+y^2=z^2$

a,Chứng minh $A=xy$ chia hết cho 12

b,Chứng minh $B=x^3y-xy^3$ chia hết cho 7

Vấn đề này TOPIC này đã đề cập khá rõ !!



#6
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

                    SỞ GIÁO DỤC VÀ TÀO ĐẠO                         KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

                                    HÀ TĨNH                                                            NĂM HỌC:2014-2015

                                                                                                                   Môn:TOÁN

                                                                                               Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                                                                      Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang

                        ĐỀ CHÍNH THỨC  

Câu 1:

 

b,Cho các số thực không âm $x,y$ thỏa mãn $x+y=2$.Chứng minh rằng : $2\leq \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\leq \sqrt{6}$

 

 

                                                                                      HẾT                                                                                                                    

P/S:VÌ do lỗi của diễn đàn nên TOPIC trước kia bị mất nên mình lập lại TOPIC này.Mong mọi người thông cảm và cùng mình viết bài!

Da co o day http://diendantoanho...qrtxyleq-sqrt6/



#7
tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 235 Bài viết

 

Sao em không giải bài đó vào topic này luôn lại đăng lại bài đó lên 1 topic khác?



#8
tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 235 Bài viết

Vấn đề này TOPIC này đã đề cập khá rõ !!

Câu b chưa được topic đó đề cập đến.



#9
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Sao em không giải bài đó vào topic này luôn lại đăng lại bài đó lên 1 topic khác?

Vâng câu b chưa có ai trả lời ạ hay thầy giải luôn bài này đi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 12-03-2015 - 20:28


#10
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

 Câu 2:Với $n$ nguyên dương $(n\geq 2)$,đặt

$P_{n}=\left ( 1-\frac{1}{1+2} \right )\left ( 1-\frac{1}{1+2+3} \right )...\left ( 1-\frac{1}{1+2+3+...+n} \right )$

Tìm tất cả các số nguyên dương $n(n\geq 2)$ sao cho $\frac{1}{P_{n}}$ là số nguyên

 

Ta có $1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}\Rightarrow 1-\frac{1}{1+2+...+k}=\frac{(k-1)(k+2)}{k(k+1)}$

Do đó $P_{n}=\frac{1.4}{2.3}.\frac{2.5}{3.4}...\frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}=\frac{n+2}{3n}\Rightarrow \frac{1}{P_{n}}=3-\frac{6}{n+2}\Rightarrow n+2=6\Rightarrow n=4$



#11
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Câu 4:Cho đường tròn $(O)$.Lấy các điểm $A,B,C$ thuộc $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB>BC>AC$.Đường tròn tâm $C$,bán kính $CB$ cắt đường thẳng $AB$ và $(O)$ lần lượt tại $D$ và $E$ ($D,E$ khác $B$)

a,Chứng minh đường thẳng $DE$ vuông góc với đường thẳng $AC$.

b,Giả sử đường thẳng $DE$ cắt $(O)$ tại $F$ (khác $E$);các đường thẳng $CO,AB$ cắt nhau tại $G$ và các đường thẳng $BE,CF$ cắt nhau tại $K$.Chứng minh $\widehat{CKG}=\widehat{CBG}$

a) Ta có $\widehat{CEA}=\widehat{CBA}=\widehat{CDA};\widehat{CED}=\widehat{CDE}\Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{ADE}$

nên tam giác ADE cân suy ra AD = AE ...

b) Chứng minh được tam giác FDB cân tại F suy ra FB = FD ... từ đó suy ra G là trực tâm tam giác BCK



#12
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

                   

Câu 3:Cho các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn $x^2+y^2=z^2$

a,Chứng minh $A=xy$ chia hết cho 12

b,Chứng minh $B=x^3y-xy^3$ chia hết cho 7

 

b) Nhận xét: Một số chính phương chia cho 7 dư 0, 1, 2, 4

Giả sử $x^{3}y-xy^{3}$ không chia hết cho 7 hay $xy(x^{2}-y^{2})$ không chia hết cho 7

Khi đó $x^{2}$ và $y^{2}$ đều không chia hết cho 7 và không có cùng số dư khi chia cho 7

- Nếu các số dư khi chia $x^{2},y^{2}$ cho 7 là 1, 2 thì $z^{2}$ chia cho 7 dư 3, vô lí

- Nếu các số dư khi chia $x^{2},y^{2}$ cho 7 là 1, 4 thì $z^{2}$ chia cho 7 dư 5, vô lí

- Nếu các số dư khi chia $x^{2},y^{2}$ cho 7 là 2, 4 thì $z^{2}$ chia cho 7 dư 6, vô lí

Từ đó suy ra $x^{3}y-xy^{3}$ chia hết cho 7 



#13
PhucLe

PhucLe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

câu 1: a) Xét phương trình thứ nhất:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{x+y} \Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow (x+y)^{2}=4xy\Leftrightarrow (x-y)^{2}=0\Leftrightarrow x=y$

Thế vào phương trình thứ hai:

$y^{2}=\sqrt{4y-3}\Leftrightarrow y^{4}=4y-3\Leftrightarrow (y-1)^{2}(y^{2}+2y+3)=0\Rightarrow y=1\Rightarrow x=1$

Chuẩn chưa nhỉ????






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh