Chủ đề này có 4 trả lời

[ThienYet]

Tìm 8 chữ số tận cùng của $5^{1995}$

[Cosette]

Ta có:

$5^{1995}=5^{1984}.5^{11}$

Nếu ta cm được $(5^{1995}-5^{11})\vdots 10^{8}$ thì $5^{11}$ chính là 8 chữ số tận cùng của $5^{1995}$.

$5^{1995}-5^{11}=5^{11}(5^{1984}-1)$

Ta thấy:

$5^{1984}-1=(5^{31.32}-1)(5^{31.32}+1)=(5^{31.16}-1)(5^{31.16}+1)(5^{31.32}+1)=(5^{31.8}-1)(5^{31.8}+1)(5^{31.16}+1)(5^{31.32}+1)$

..................

$5^{1984}-1=(5^{31}-1)(5^{31}+1)(5^{31.2}+1)(5^{31.4}+1)(5^{31.8}+1)(5^{31.16}+1)(5^{31.32}+1)$

Nhận thấy $RHS$ có:

$(5^{31}-1)\vdots 2^{2}$

phần còn lại là tích $6$ số chẵn $\rightarrow $ tích $6$ thừa số này $\vdots 2^{6}$

Hay:

$(5^{1984}-1)\vdots 2^{8}$     $ (1)$

Hơn nữa:

$5^{11}\vdots 5^{8}$                 $(2)$

Từ $(1) $ và  $(2)$ ta được:

$(5^{1995}-5^{11})\vdots 10^{8}$

Hay nói cách khác: 8 chữ số tận cùng của $5^{1995}$ là $5^{11}=48828125$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cosette: 12-03-2015 - 10:26

[Namthemaster1234]

Ta có:

$5^{1995}=5^{1984}.5^{11}$

Nếu ta cm được $(5^{1995}-5^{11})\vdots 10^{8}$ thì $5^{11}$ chính là 8 chữ số tận cùng của $5^{1995}$.

$5^{1995}-5^{11}=5^{11}(5^{1984}-1)$

Ta thấy:

$5^{1984}-1=(5^{31.32}-1)(5^{31.32}+1)=(5^{31.16}-1)(5^{31.16}+1)(5^{31.32}+1)=(5^{31.8}-1)(5^{31.8}+1)(5^{31.16}+1)(5^{31.32}+1)$

..................

$5^{1984}-1=(5^{31}-1)(5^{31}+1)(5^{31.2}+1)(5^{31.4}+1)(5^{31.8}+1)(5^{31.16}+1)(5^{31.32}+1)$

Nhận thấy $RHS$ có:

$(5^{31}-1)\vdots 2^{2}$

phần còn lại là tích $6$ số chẵn $\rightarrow $ tích $6$ thừa số này $\vdots 2^{6}$

Hay:

$(5^{1984}-1)\vdots 2^{8}$     $ (1)$

Hơn nữa:

$5^{11}\vdots 5^{8}$                 $(2)$

Từ $(1) $ và  $(2)$ ta được:

$(5^{1995}-5^{11})\vdots 10^{8}$

Hay nói cách khác: 8 chữ số tận cùng của $5^{1995}$ là $5^{11}=48828125$

 

Bạn làm sao chọn số $5^{11}$ tài vậy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 12-03-2015 - 15:02

[Cosette]

Bạn làm sao chọn số $5^{11}$ tài vậy.

Mình cũng mày mò thôi...Mình nghĩ như sau:

Số $A=5^{1995}$ chia cho $10^{8}$ sẽ có số dư là 1 số bằng 8 chữ số cuối cùng của A. Mà A tận cùng là 5 thì ta tìm xem có số nào có 8 chữ số và là lũy thừa của 5. Sau khi thử thì thấy $5^{11}$ thỏa, thế là ta làm tiếp như trên...

[KsTp]

Theo mik thì xét 5^2k và 5^2k+1 thì được 3 chữ số tận cùng là 625 và 125 

                    xét 5^4k,5^4k+1,5^4k+2,5^4k+3 thì 4cs tận cùng lầ lượt 0625,3125,5625,8125

                    Tiếp tục 5^8k là 5cs tận cùng, 5^16k là 6cs tận cùng, 5³² là 7 cs tận cùng và 5⁶⁴là 8cs tận cùng

                    Do 1995=64x31+11 . nên 5¹⁹⁹⁵ sẽ dồng dư với 5¹¹(mod10⁸) hay có cùng 8cs tận cùng 

           Ps: giống 64k+11 và vớik=0 ấy