Bài 1: ( 5 điểm)
1. Tìm các số nguyên x để x2 +x + 6 là số chính phương.
2. Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng $\left ( 2^{2^{2n}}+10 \right )\vdots 13$
Bài 2: (5 điểm)
a) Giải phương trinh $\left ( \sqrt{x+3}-\sqrt{x} \right )\left ( \sqrt{1-x}+1 \right )=1$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (x-1)y^{2}+x+y=3 & \\ (y-2)x^{2}+y=x+1 & \end{matrix}\right.$
Bài 3: (3 điểm)
1. Tìm x, y là các số tự nhiên thỏa mãn $3^{x}+1=2^{y}$
2. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng $A=\sum \frac{2}{(a+1)^{2}+b^{2}+1}\leq 1$
Bài 4: (6 điểm) Trên đường tròn tâm O đường kính AB = 2R lấy điểm N sao cho AN=R và một điểm M bất kì trên cung nhỏ BN (M không trùng với B, N). Gọi I là giao điểm của AM và BN. Đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với AB tại điểm H cắt tia AN tại điểm C.
a) Chứng minh ba điểm B, M, C thẳng hàng.
b) Xác định vị trí của điểm M để chu vi của tứ giác ABMN lớn nhất.
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên cung nhỏ BN của đường tròn (O; R).
d) Gọi P là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm N của đường tròn(O; R). Đường thẳng MP cắt AB tại điểm D. Chứng minh $\frac{MD}{MA}+\frac{MD}{MB}$ không đổi khi M thay đổi trên cung nhỏ BN của đường tròn (O; R).
Bài 5: ( điểm): Cho trong một mặt phẳng 2000 điểm. Chứng minh rằng ta có thể vẽ được một đường tròn chứa 1000 điểm thuộc miền trong, còn 1000 điểm kia thuộc miền ngoài đường tròn.