Chủ đề này có 6 trả lời

[Ngoc Hung]

Bài 1: ( 5 điểm)

      1. Tìm các số nguyên x để  x² +x + 6 là số chính phương.

      2. Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng $\left ( 2^{2^{2n}}+10 \right )\vdots 13$  

Bài 2: (5 điểm)

       a) Giải phương trinh $\left ( \sqrt{x+3}-\sqrt{x} \right )\left ( \sqrt{1-x}+1 \right )=1$ 

       b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (x-1)y^{2}+x+y=3 & \\ (y-2)x^{2}+y=x+1 & \end{matrix}\right.$ 

Bài 3: (3 điểm)

      1. Tìm x, y là các số tự nhiên thỏa mãn $3^{x}+1=2^{y}$ 

      2. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn  abc = 1. Chứng minh rằng $A=\sum \frac{2}{(a+1)^{2}+b^{2}+1}\leq 1$

Bài 4: (6 điểm) Trên đường tròn tâm O đường kính AB = 2R lấy điểm N sao cho AN=R và một điểm M bất kì trên cung nhỏ BN (M không trùng với B, N). Gọi I là giao điểm của AM và BN. Đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với AB tại điểm H cắt tia AN tại điểm C.

        a) Chứng minh ba điểm B, M, C thẳng hàng.

        b) Xác định vị trí của điểm M để chu vi của tứ giác ABMN lớn nhất.

        c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên cung nhỏ BN của đường tròn (O; R).

        d) Gọi P là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm N của đường tròn(O; R). Đường thẳng MP cắt AB tại điểm D. Chứng minh $\frac{MD}{MA}+\frac{MD}{MB}$ không đổi khi M thay đổi trên cung nhỏ BN của đường tròn (O; R).

Bài 5: (  điểm): Cho trong một mặt phẳng 2000 điểm. Chứng minh rằng ta có thể vẽ được một đường tròn chứa 1000 điểm thuộc miền trong, còn 1000 điểm kia thuộc miền ngoài đường tròn.

[Ngoc Hung]

Bài 3: (3 điểm)

      2. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn  abc = 1. Chứng minh rằng $A=\sum \frac{2}{(a+1)^{2}+b^{2}+1}\leq 1$

 

$\frac{2}{(a+1)^{2}+b^{2}+1}=\frac{2}{a^{2}+b^{2}+2a+2}\leq \frac{2}{2ab+2a+2b}=\frac{1}{ab+a+1}$

$\frac{2}{(b+1)^{2}+c^{2}+1}\leq \frac{1}{bc+c+1}=\frac{ab}{ab+b+1}$

$\frac{2}{(c+1)^{2}+a^{2}+1}\leq \frac{1}{ac+a+1}=\frac{b}{ab+b+1}$

[Dinh Xuan Hung]

Bài 3: (3 điểm)

      

      2. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn  abc = 1. Chứng minh rằng $A=\sum \frac{2}{(a+1)^{2}+b^{2}+1}\leq 1$

 

$\sum \frac{2}{(a+1)^2+b^2+1}= \sum \frac{2}{a^2+b^2+2a+2}\leq \sum \frac{2}{2ab+2a+2}=\sum \frac{1}{ab+b+1}=1$

[Dinh Xuan Hung]

 

Bài 2: (5 điểm)

       a) Giải phương trinh $\left ( \sqrt{x+3}-\sqrt{x} \right )\left ( \sqrt{1-x}+1 \right )=1$ 

    

 

$(\sqrt{x+3}-\sqrt{x})(\sqrt{1-x}+1)=1\Leftrightarrow 3(\sqrt{1-x}+1)=\sqrt{x+3}+\sqrt{x}$

Ta co$\sqrt{x+3}+\sqrt{x}\leq \sqrt{4}+\sqrt{1}=3\Leftrightarrow 3(\sqrt{1-x}+1)\leq 3\Leftrightarrow \sqrt{1-x}\leq 0\Rightarrow x=1$

[Dinh Xuan Hung]

Bài 1: ( 5 điểm)

      1. Tìm các số nguyên x để  x² +x + 6 là số chính phương.

 

Đặt $x^2+x+6=a^2\Leftrightarrow 4x^2+4x+24=4a^2\Leftrightarrow (2x+1)^2+23=4a^2\Leftrightarrow (2a-2x-1)(2a+2x+1)=23$

Bạn tự giải tiếp nhé

[Ngoc Hung]

Bài 5: (  điểm): Cho trong một mặt phẳng 2000 điểm. Chứng minh rằng ta có thể vẽ được một đường tròn chứa 1000 điểm thuộc miền trong, còn 1000 điểm kia thuộc miền ngoài đường tròn.

 

 

Qua 2 điểm ta nối được một đoạn thẳng. Số các đoạn thẳng nối được $\frac{2000.1999}{2}=1999000$ (đoạn).

Vẽ trung trực của tất cả 1999000 đoạn thẳng đó. Lấy điểm O không thuộc bất kỳ trung trực nào trong số các đường trung trực nói trên.Ta nối O với 2000 điểm đã cho, ta được 2000 khoảng cách khác nhau $d_{1}< d_{2}< ...< d_{1000}< d_{1001}< ...< d_{2000}$

Chọn R thỏa mãn $d_{1000}< R< d_{1001}$ . Đường tròn (O; R) thỏa mãn yêu cầu đầu bài.

[ThienYet]

 

Bài 2: (5 điểm)

       b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (x-1)y^{2}+x+y=3 & \\ (y-2)x^{2}+y=x+1 & \end{matrix}\right.$ 

 

Ta có:

+Với $x=1,y=2$ --> thỏa mãn

+Với $x\neq 1,y\neq 2$ thì ta có

$\left\{\begin{matrix} (x-1)y^{2}+(x-1)+(y-2)=0 & & \\ (y-2)x^{2}-(x-1)+(y-2)=0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-1)(y^{2}+1)=-(y-2) & & \\ (y-2)(x^{2}+1)=x-1 & & \end{matrix}\right.$

Do $x-1\neq 0,y-2\neq 0$ nên ta chia 2 vế của pt trên cho $x-1$ và pt dưới cho $y-2$ ta được

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+1=\frac{x-1}{y-2} & & \\ y^{2}+1=\frac{2-y}{x-1} & & \end{matrix}\right.$

Nhân vế với vế của 2 pt trên ta được

$(x^{2}+1)(y^{2}+1)=-1$ điều này vô lí do VT>0

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là $x=1,y=2$