Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\boxed{\textrm{TOPIC}}$ ÔN THI VÀO $\boxed{\textrm{THPT CHUYEN}}$ LỚP 10 CHUYÊN TOÁN


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 150 trả lời

#41 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 22-03-2015 - 22:10

Sao mình không tải được tài liệu vậy nhỉ  :icon13:  :mellow:

Tải được mà bạn bạn thử xem lại đi



#42 HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp , Quảng Bình
  • Sở thích:đi phượt

Đã gửi 22-03-2015 - 22:14

bạn @xuanhung đăng bài tiếp đi


Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy


#43 hoaihhbg

hoaihhbg

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bắc Giang

Đã gửi 22-03-2015 - 22:21

Làm tiếp cho TOPIC sôi nổi nào :)

Bài 32: Cho dãy số tự nhiên 2,6,30,... được xác định như sau: số hạng thứ k bằng tích của k số nguyên tố đầu tiên. Biết rằng tồn tại hai số hạng của dãy có hiệu bằng 3000, hãy tìm số hạng đó

Bài 33: Giải phương trình: $ \frac{x^2}{(x+2)^2}=3x^2-6x-3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaihhbg: 23-03-2015 - 20:25

Thấy bài làm đúng và có ích hãy bấm LIKE

Ai tốt với mình thì mình tốt lại thế thôi =))
 Facebook: 
https://www.facebook...hoainguyen.hhbg :wub:

 

 

 


#44 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 22-03-2015 - 22:29

Câu 34:a.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$f(x)=6\left | x-1 \right |+\left | 3x-2 \right |+2x$

Câu 34:b.Cho a,b và c là các số thực dương.Chứng minh rằng:$\left ( 1+\frac{1}{a} \right )^4+\left ( 1+\frac{1}{b} \right )^4+\left ( 1+\frac{1}{c} \right )^4\geq 3\left ( 1+\frac{3}{2+abc} \right )^4$

Câu 36:Giả sử a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ac=1$.Chứng minh rằng:$\frac{a+b}{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}}=\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}$

Câu 37:Tìm $p$ nguyên tố để $2^p+p^2$ cũng là các số nguyên tố

Câu 38:Tìm các số nguyên dương $a,b,c$ sao cho $\frac{(ab-1)(bc-1)(ac-1)}{abc}$ là một số nguyên

Câu 39:Giả sử a,b là các số nguyên dương thay đổi và thỏa mãn $\frac{ab+1}{a+b}< \frac{3}{2}$.Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$P=\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$

Câu 40:Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} xyz+y=2+yz & & & \\ xyz+z=3+2xz & & & \\ xyz+x=1+3xy & & & \end{matrix}\right.$

P/s:Mọi người làm tiếp đi nhé 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 23-03-2015 - 10:50


#45 hoaihhbg

hoaihhbg

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bắc Giang

Đã gửi 22-03-2015 - 22:42

Câu 37:Tìm $p$ nguyên tố để $2^p+p^2$ cũng là các số nguyên tố

Nếu p=2 không tm

Nếu p=3 thỏa mãn

Nếu p>3 thì  $2\equiv -1(mod3)$ do p lẻ nên $2^p \equiv -1(mod3)$, mà $p^2\equiv1(mod3)$(do p nguyên tố)

nên $2^p + p^2$ $\vdots$ 3 (không thỏa mãn)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaihhbg: 22-03-2015 - 22:57

Thấy bài làm đúng và có ích hãy bấm LIKE

Ai tốt với mình thì mình tốt lại thế thôi =))
 Facebook: 
https://www.facebook...hoainguyen.hhbg :wub:

 

 

 


#46 hoaihhbg

hoaihhbg

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bắc Giang

Đã gửi 22-03-2015 - 22:56

Câu 39:Giả sử a,b là các số nguyên dương thay đổi và thỏa mãn $\frac{ab+1}{a+b}< \frac{3}{2}$.Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$P=\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$

Do a,b có vai trò như nhau nên  ta giả sử    $3 \leq a \leq b$. Ta có:$ \frac{ab+1}{a+b}\geq \frac{3b+1}{2b}>\frac{3b}{2b}=\frac{3}{2}$ (vô lý)

Khiddos  $a <3$  mà a nguyên dương: a $\in$ {1;2}

-Với a=1 thì P=1

-Với a=2 thì từ $\frac{ab+1}{a+b}< \frac{3}{2}$ có b<4 nên b $\in$ {1;2;3}

+Nếu b=1 thì P=1

+Nếu b=2 thì P=$\frac{65}{16}$

+Nếu b=3 thì P=$\frac{217}{35}$

Từ đó P max khi (a,b) $\in$ {(2,3);(3,2)}


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaihhbg: 22-03-2015 - 23:08

Thấy bài làm đúng và có ích hãy bấm LIKE

Ai tốt với mình thì mình tốt lại thế thôi =))
 Facebook: 
https://www.facebook...hoainguyen.hhbg :wub:

 

 

 


#47 congdaoduy9a

congdaoduy9a

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT c Lê Khiết

Đã gửi 22-03-2015 - 23:21

Bài 36: Ta có $1+a^{2}=(a+b)(a+c)$ (vì ab+bc+ca=1)

$1+b^{2}=(b+a)(b+c)$  ; $1+c^{2}=(a+c)(b+c)$

VT trở thành : $\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)(a+c)(b+a)(b+c)}}=\frac{1}{\sqrt{(a+c)(c+b)}}$ (VP) => đpcm



#48 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 23-03-2015 - 02:47

Câu 34

Ta có: $f(x)=6|x-1|+|3x-2|+2x=|x-1|+|3-3x|+|3x-2|+|2-2x|+2x\geq 0+|1|+2=3$

Dấu bằng xảy ra khi $x=1$

Câu 40  Ta có: 

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-1)yz=2-y\\ (y-2)xz=3-z\\ (z-3)xy=1-x \end{matrix}\right.$

Với $x=1 \Rightarrow y=2 \Rightarrow z=3$ và tương tự với $y=2$ hoặc $z=3$

Với $x\not =1;y\not =2;z\not =3$

$\Rightarrow (x-1)(y-2)(z-3)(xyz)^2=(1-x)(2-y)(3-z)\Leftrightarrow (xyz)^2=-1\Rightarrow$ Vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có nghiệm $(x,y,z)=(1;2;3)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 23-03-2015 - 02:57


#49 hoaihhbg

hoaihhbg

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bắc Giang

Đã gửi 23-03-2015 - 07:49

Câu 38:Tìm các số nguyên dương $a,b,c$ sao cho $\frac{(ab-1)(bc-1)(ac-1)}{abc}$ là một số nguyên

Do $P=\frac{(ab-1)(bc-1)(ac-1)}{abc} =abc -a-b-c +\frac{ab+bc+ac-1}{abc}$ là số nguyên nên $\frac{ab+bc+ac-1}{abc}$ nguyên nên

$ ab+bc+ac-1 \vdots abc(*)$ khi đó $ab+bc+ac-1 \geq abc(1)$

Do a,b,c có vai trò như nhau nên ta giả sử $1 \leq a \leq b \leq c$

khi đó $ab+bc+ac-1>ab+bc+ac \geq 2ac+bc=c(3a+b)(2)$

Từ (1),(2), ta có $abc<c(2a+b) \Rightarrow ab<2a+b \leq 3b \Rightarrow a<3$, mà a nguyên dương nên a $\in$ {1;2}

+Nếu a=1 thay vào $(*)$ có $b+c+bc-1 \vdots bc \Rightarrow c+b-1 \vdots bc \Rightarrow b+c-1 \geq bc \Rightarrow (b-1)(c-1) \leq 0$, mà $c \geq b \geq 1$ nên $(b-1)(c-1) \geq 0$ khi đó (b-1)(c-1)=0

$\Rightarrow b=1$ hoặc $c=1$. thay vào P thỏa mãn.

+Nếu a=2 thay vào $(*)$ có $2b+2c+bc-1 \vdots 2bc \Rightarrow 4b+4c+2bc-2 \vdots 2bc \Rightarrow 4b+4b-2 \vdots 2bc \Rightarrow 2b+2c-1 \vdots bc \Rightarrow bc \leq 2b+2c-1 \Rightarrow (b-2)(c-2) \leq 3$ mà  $c \geq b \geq 2$ nên $(b-2)(c-2) \geq 0$ khi đó $(b-2)(c-2) \in$ {0;1;2;3} Giải ra thôi


Thấy bài làm đúng và có ích hãy bấm LIKE

Ai tốt với mình thì mình tốt lại thế thôi =))
 Facebook: 
https://www.facebook...hoainguyen.hhbg :wub:

 

 

 


#50 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 23-03-2015 - 11:16

Câu 34b.

AM-GM:

$(1+\frac{1}{a})^4+(1+\frac{1}{b})^4+(1+\frac{1}{c})^4\geq 3\sqrt[3]{(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})}^4$

Ta có:$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})=1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{abc}\geq 1+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{3}{\sqrt[3]{(abc)^2}}+\frac{1}{abc}=\left ( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}} \right )^3\Rightarrow 3\sqrt[3]{(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})^4}\geq 3\left ( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}} \right )^4$

Lại có:$1+\frac{3}{2+abc}=1+\frac{3}{1+1+abc}\leq 1+\frac{3}{3\sqrt[3]{abc}}=1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\Rightarrow \left ( 1+\frac{3}{2+abc} \right )^4\leq \left ( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}} \right )^4$

Từ đó suy ra:$\sum \left ( 1+\frac{1}{a} \right )^4\geq 3\left ( 1+\frac{3}{2+abc} \right )^4$



#51 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 23-03-2015 - 11:41

Theo ý kiến của Bạn @hoanglong2k thì những bài đã có đáp án sẽ được bôi đỏ

Câu 41: Giả sử a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$P=\frac{a}{b^2+c^2+a}+\frac{b}{a^2+c^2+b}+\frac{c}{a^2+b^2+c}$

Câu 42:

a, Giả sử a và b là các số nguyên dương sao cho $\frac{(a+b)^2+a+b}{ab}$ là một số nguyên.Gọi d là một ước số chung bất kì của a và b.Chứng minh rằng:$d\leq \left [ \sqrt{a+b} \right ]$ (kí hiệu $\left [ x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá x)

b,Cho x và y là các số hữu tỉ và thỏa mãn đẳng thức $(x+y)^3=xy(3x+3y+2)$.Chứng minh rằng:$\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỉ.

Câu 43:Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn $(x+y)^3=(x-y-6)^2$

Câu 44:Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x+y+xy=3 & & \\ \frac{1}{x^2+2x}+\frac{1}{y^2+2y}=\frac{2}{3} & & \end{matrix}\right.$

Câu 45:Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng:$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}\geq abc+\sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$

Câu 46:Từ một điểm D nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến DA và DB đến đường tròn ( A và B là các tiếp điểm).Tia Dx nằm giữa hai tia DA và DB;Dx cắt đường tròn tại hai điểm C và E (E nằm giữa C và D).đoạn OD cắt đoạn thẳng AB tại M.Chưng minh rằng:

a,Tứ giác OMEC nội tiếp

b,$\widehat{CMA}=\widehat{EMA}$

c,$\left ( \frac{MB}{MC} \right )^2=\frac{DE}{DC}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 23-03-2015 - 19:51


#52 kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 525 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 23-03-2015 - 18:52

Làm tiếp cho TOPIC sôi nổi nào :)

Bài 33: Giải phương trình: $ \frac{x^2}{(x+2)^2}=3x^2-6x-3$

ĐK: $x\neq -2$

Quy đồng rút gọn được PT : $3x^{4}+6x^{3}-12x^{2}-36x-12=0$

                                      <=>  $\left ( x^{2} -6\right )\left ( 3x^{2} +6x+2\right )=0$

Giải ra tìm được $x\epsilon \left \{ +-\sqrt{6} ;\frac{-3+-\sqrt{3}}{3}\right \}$



#53 HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp , Quảng Bình
  • Sở thích:đi phượt

Đã gửi 23-03-2015 - 18:59

Câu 44:Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x+y+xy=3 & & \\ \frac{1}{x^2+2x}+\frac{1}{y^2+2y}=\frac{2}{3} & & \end{matrix}\right.$

 

$\frac{y^{2}+x^{2}+2(x+y)}{xy(x+2)(y+2))}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \frac{(x+y)^{2}+2(x+y)-2xy}{xy(xy+2(x+y)+4)}=\frac{2}{3}$

đặt x+y=a;xy=b. ta có $\frac{a^{2}+2a-2b}{b^{2}-2ab-4b}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow 3a^{2}+a(6-4b)+(-14b-2b^{2})=0$

delta=$40b^{2}+120b+36$

a1=$\frac{4b-6+\sqrt{40b^{2}+120+36}}{6}=\frac{2b-3+\sqrt{10b^{2}+30b+9}}{3}$

a2=$\frac{4b-6-\sqrt{40b^{2}+120+36}}{6}=\frac{2b-3-\sqrt{10b^{2}+30b+9}}{3}$

mình chỉ giải 1 trường hợp a=$\frac{4b-6+\sqrt{40b^{2}+120+36}}{6}=\frac{2b-3+\sqrt{10b^{2}+30b+9}}{3}$

mà a+b=3 suy ra $2b-3+\sqrt{10^{2}+30b+9}+3b=9\Leftrightarrow \sqrt{10b^{2}+30b+9}=12-5b\Leftrightarrow 15b^{2}-150b+135=0\Rightarrow$ b=9 hoặc b=1

đến đây dễ rồi :)))))


Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy


#54 hoaihhbg

hoaihhbg

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bắc Giang

Đã gửi 23-03-2015 - 19:47

Bài 32:Cho dãy số tự nhiên 2,6,30,... được xác định như sau: số hạng thứ k bằng tích của k số nguyên tố đầu tiên. Biết rằng tồn tại hai số hạng của dãy có hiệu bằng 3000, hãy tìm số hạng đó

Lời giải:

Kí hiệu $a_{n}$ là tích n số nguyên tố đầu tiên, ta có:

$a_{1} = 2, a_{2} = 6, a_{3} = 30,.....$

Giải sử $a_{m}$ và $a_{m+k}$ là hai số thỏa mãn $a_{m+k} -a_{m}=3000.$

Ta có $a_{m+k}=a_{m} +3000 >210 = a_{4} \vdots 7.\Rightarrow a_{m+k} \vdots 7 $ .Suyra  $a_{m}=a_{m+k}-3000$   không chia hết cho 7. Do đó $1 \leq m \leq 3$

Thử lần lượt ta có m=3 thỏa mãn

P/s: mod bảo bài làm rồi sẽ có mầu đỏ sao bài 42b,45,46 mình không thấy lời giải đâu v?


Thấy bài làm đúng và có ích hãy bấm LIKE

Ai tốt với mình thì mình tốt lại thế thôi =))
 Facebook: 
https://www.facebook...hoainguyen.hhbg :wub:

 

 

 


#55 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 23-03-2015 - 19:59

Câu 41: Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{a}=x & & & \\ \sqrt[3]{b}=y & & & \\ \sqrt[3]{c}=z & & & \end{matrix}\right.\Rightarrow xyz=1$

Khi đó:$P=\sum \frac{a}{b^2+c^2+a}=\sum \frac{x^3}{y^6+z^6+x^3}$

Ta có:$(y-z)(y^5-z^5)\geq 0\Leftrightarrow y^6+z^6\geq yz(y^4+z^4)\Leftrightarrow y^6+z^6+x^3\geq yz(y^4+z^4)+x^3\Leftrightarrow \frac{x^3}{y^6+z^6+x^3}\leq \frac{x^3}{yz(y^4+z^4)+x^3}=\frac{x^4}{x^4+y^4+z^4}$

CMTT:$\frac{y^3}{x^6+z^6+y^3}\leq \frac{y^4}{x^4+y^4+z^4};\frac{z^3}{x^6+y^6+z^3}\leq \frac{z^4}{x^4+y^4+z^4}$

$\Rightarrow P\leq \sum \frac{x^4}{x^4+y^4+z^4}=1$



#56 hoaihhbg

hoaihhbg

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bắc Giang

Đã gửi 23-03-2015 - 20:00

Mình muốn xem các cách giải của các bạn khi nào không ai trả lời thì mình sẽ giải

Mình lại cứ tưởng các bạn làm hết rồi chưa cả nghĩ

Theo ý kiến của Bạn @hoanglong2k thì những bài đã có đáp án sẽ được bôi đỏ

Câu 43:Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn $(x+y)^3=(x-y-6)^2$

Từ đề bài, ta có $|x-y-6| >x+y(1)$

+Nếu $x \geq y+6$ thì từ $(1)$, ta có: x-y-6 >x+y \Rightarrow -2y-6>0 $ (vô lý vì $y>0$)

+Nếu $x<y+6$ thì từ $(1)$, ta có: $y+6-x>x+y \Rightarrow 6-2x>0 \Rightarrow x<3$, mà x nguyên dương nên $x \in$ {1;2}

Với x=1 thì y=3

Với x=2 thì không có y nguyên dương thỏa mãn


Thấy bài làm đúng và có ích hãy bấm LIKE

Ai tốt với mình thì mình tốt lại thế thôi =))
 Facebook: 
https://www.facebook...hoainguyen.hhbg :wub:

 

 

 


#57 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 23-03-2015 - 20:08

 

Câu 45:Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng:$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}\geq abc+\sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$

 

BĐT cần chứng minh tương đương với

 

$\sqrt{\left ( \sum \frac{a}{b} \right )\left ( \sum \frac{b}{a} \right )}\geq 1+\sqrt[3]{\coprod\left ( 1+\frac{a^2}{bc} \right )}(1)$

Đặt $\left ( \frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a} \right )\rightarrow (x;y;z)\rightarrow x,y,z>0;xyz=1$

Khi đó (1) trở thành:$\sqrt{(xy+yz+xz)(x+y+z)}\geq 1+\sqrt[3]{\prod \left ( \frac{x}{z}+1 \right )}\Leftrightarrow \sqrt{\prod (x+y)+xyz}\geq 1+\sqrt[3]{\prod (x+y)}(2)$

Đặt $\sqrt[3]{\prod \left ( x+y \right )}=t\Rightarrow t\geq 2$

Khi đó (2) trở thàn:$\sqrt{t^3+1}\geq 1+t\Leftrightarrow t(t-2)(t+1)\geq 0 (LĐ )$ Suy ra ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra a=b=c.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 23-03-2015 - 22:25


#58 Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1533 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đức Thọ - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán học và thơ

Đã gửi 23-03-2015 - 22:13

Tại Đây

 

Chú ý: Bạn đã lập toptic này nhằm mục đích gì chắc bạn hiểu: Theo mình là để post các bài ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên, cũng như các chuyên đề về Toán ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên nhằm giúp các bạn khác có tư liệu ôn thi tốt hơn. Nhưng bạn phải chú ý là: Những bài bạn đã post nếu bạn có lời giải tốt bạn nên đăng luôn lời giải. Còn những bài chưa có lời giải thì để mọi người cùng tham gia giải, bạn không nên đăng bài rồi sau đó lại đăng lời giải. Mong bạn rút kinh nghiệm



#59 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 23-03-2015 - 22:38

 

Câu 42:

a, Giả sử a và b là các số nguyên dương sao cho $\frac{(a+b)^2+a+b}{ab}$ là một số nguyên.Gọi d là một ước số chung bất kì của a và b.Chứng minh rằng:$d\leq \left [ \sqrt{a+b} \right ]$ (kí hiệu $\left [ x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá x)

b,Cho x và y là các số hữu tỉ và thỏa mãn đẳng thức $(x+y)^3=xy(3x+3y+2)$.Chứng minh rằng:$\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỉ.

 

a,Nếu d<0 thì BĐT cần CM hiển nhiên đúng

Nếu d>0.giả sử a=dm;b=dn (m,n là các số nguyên dương)

Ta có:$\frac{(a+b)^2+a+b}{ab}=\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}+2$ là số nguyên nên $a^2+b^2+a+b\vdots ab\Rightarrow d^2m+d^2n^2+dn+dm\vdots d^2mn\Leftrightarrow d(m^2+n^2)+m+n\vdots dmn\Leftrightarrow m+n\vdots d$

$\Rightarrow d\leq m+n\Rightarrow d\leq \frac{a+b}{d}\Rightarrow d^2\leq a+b\Rightarrow d\leq \sqrt{a+b}$

Như vậy d là số nguyên không vượt quá $\sqrt{a+b}$ mà $\left [ \sqrt{a+b} \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $\sqrt{a+b}$ do đó:$d\leq \left [ \sqrt{a+b} \right ]$

b,Nếu x=0 hoặc y=0 thì $\sqrt{1-xy}=1$ là một số hữu tỉ

Nếu x,y khác 0

Ta có:$x^3+y^3=2xy\Rightarrow \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}= 2\Rightarrow \frac{x^4}{y^2}+\frac{y^4}{x^2}+2xy=4\Rightarrow \frac{x^4}{y^2}-2xy+\frac{y^4}{x^2}=4-4xy\Leftrightarrow \left ( \frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x} \right )^2=4(1-xy)\Rightarrow 1-xy=\frac{1}{4}\left ( \frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x} \right )^2\Rightarrow \sqrt{1-xy}=\frac{1}{2}\left | \frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x} \right | \epsilon \mathbb{Q}$



#60 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 23-03-2015 - 23:00

Câu 47:Cho x,y,z là ba số thực dương.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$S= \frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-xz+x^2}}{x+z+2y}$

Câu 48:Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho $\sqrt{1+p+p^2+p^3+p^4}$ là một số hữu tỷ

Câu 49: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn $a\leq 1;b\leq 2;a+b+c=6$.Chứng minh rằng:$(a+1)(b+1)(c+1)\geq 4abc$

Câu 50: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $4a^2+b^2+c^2\leq 4$.Chứng minh rằng:$ab+bc+ac\leq 1+\sqrt{3}$

Câu 51:Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn:$a+b+c+\sqrt{abc}=4$.Tính giá trị biểu thức:$A=\sqrt{a(4-b)(4-c)}+\sqrt{b(4-a)(4-c)}+\sqrt{c(4-a)(4-b)}-\sqrt{abc}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh