Chủ đề này có 150 trả lời

[hoanglong2k]

Mình nghĩ đề phải là $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}$

@Dinh Xuan Hung:Đề đúng là $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$

Đề đúng đó

Đặt $d=(a,b)$ thì $a=dm;b=dn$ với $(m,n)=1$

Ta có: $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a^2+a+b^2+b}{ab}=\frac{d^2m^2+dm+d^2n^2+dn}{d^2mn}\in \mathbb{Z}$

 $\Rightarrow (d^2m^2+dm+d^2n^2+dn)$ $\vdots$ $d^2mn$

$\Rightarrow (d^2m^2+dm+d^2n^2+dn)$ $\vdots$ $d^2$

$\Rightarrow dm+dn\vdots d^2$

$\Leftrightarrow a+b\vdots d^2$

$\Rightarrow a+b\geq d^2$

$\Leftrightarrow d\leq \sqrt{a+b}$

EP

[Dinh Xuan Hung]

$\boxed{2}$

Câu 3:

b,Chứng minh rằng không tồn tại a,b,c là các số nguyên để hai phương trình bậc hai sau đây đều có hai nghiệm nguyên:$ax^2+bx+c=0(1);(a+1)x^2+(b+1)x+c+1=0(2)$

 

Gọi $x_1;x_2 \epsilon \mathbb{Z}$ là nghiệm của PT (1)$\Rightarrow a(x-x_1)(x-x_2)=0$

Gọi $x_3;x_4 \epsilon \mathbb{Z}$ là nghiệm của PT (2)$\Rightarrow (a+1)(x-x_3)(x-x_4)=0$

Ta có:$(a+1)x^2+(b+1)x+c+1=(a+1)(x-x_3)(x-x_4)\Leftrightarrow ax^2+bx+c+x^2+x+1=(a+1)(x-x_3)(x-x_4)\Leftrightarrow a(x-x_1)(x-x_2)+x(x+1)+1=(a+1)(x-x_3)(x-x_4)$

Dễ có $x(x+1)$ là số chẵn nên $x(x+1)+1$ là một số lẻ

Nếu a chẵn 

Thay $x=x_3$ thì VT là một số lẻ còn VP=0 nên vô lý

Nếu a lẻ

Thay $x=x_1$ thì VT là số lẻ còn VP là số chẵn nên vô lý

Vậy...

[Dinh Xuan Hung]

$\boxed{3}$

Câu 1: (4,5 điểm)

a, Cho biểu thức :

$ A = [ \dfrac{ a - x }{ \sqrt{a} - \sqrt{x} } -\dfrac{ a \sqrt{a} - x \sqrt{x} }{ a - x }] [ \dfrac{( \sqrt{a} + \sqrt{x} )^2}{ a \sqrt{a}+x \sqrt{x}}] : (\sqrt[3]{\dfrac{7-5\sqrt{2}}{8}} +\sqrt[3]{\dfrac{7+5\sqrt{2}}{8} )}$
1) Rút gọn .A
2) TRong trường hợp A có nghĩa hãy so sánh ( có giải thích ) A với $A^{2011} $

b,Cho $P=\frac{\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{x}-3\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}-\frac{5y}{x-\sqrt{xy}-6y}$ với $x\geq 0; y>0; x\neq 9y$

1/ Tính $\frac{x}{y}$ biết $P=\frac{2007+2\sqrt{2015}}{2011}$

2/ Tìm $max P$.

Câu 2 : ( 3,0 điểm)

a,Giải hệ phuơng trình :
$\begin{cases} x (x^2+4y^2) =8y^4(y^2+1) \\ \sqrt{5x+6}+\sqrt{2y^2+7}=7\end{cases}$

b,Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^2+2xy-2x-y=0 &\\ x^4-4(x+y-1)x^2+y^2+2xy=0 \end{matrix}\right.$

Câu 3: ( 2,5 điểm) Cho các số $a=111...11$( gồm 2012 chữ số 1), $b=1000...005$( trong đó có 2011 chữ số 0) và $T= \sqrt{ab+1}$ .CMR T là số nguyên .Hãy tìm số dư trong phép chia T cho 7
Câu 4 : ( 6,0 điểm) Trên đường tròn C tâm O, bán kính R vẽ dây AB < 2R.Từ A,Bvẽ các tiếp tuyến Ax,By với đường tròn C .Lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ AB .Gọi H,K,I lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống AB,Ax và By.
1) CMR: $MH^2 = MK.MI $
2) Gỉa sử AM cắt KH tại E,BM cắt HI tại F.CMF: EF là tiếp tuyến chong của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK,MFI.
3) Gọi D là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK và MFI.CMR: khi M di chuyển trên cung nhỏ AB thì đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định .
Câu 5: (2,0 điểm) Cho hai đa thức
$P(x)= x^4+ax^3+bx^2+cx+1;Q(x)= x^4+cx^3+bx^2+ax+1$ với $a \neq c $.Biết các phương trình $P(x)=0;Q(x)=0 $ có hai nghiệm chung .
Hãy tìm tất cả các nghiệm của hai phương trình đó.
Câu 6 : ( 2,0 điểm)

a,Cho các số thực $a_1;a_2;...;a_{2011} \in [1;3]$ và thoả mãn :
$S=a_1^3+a_2^3+...+a_{2011}^3=12307 $
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$P=a_1+a_2+...+a_{2011} $

b,Cho các số thực dương a,b,c .Chứng minh rằng:$\sum \frac{a+b}{c+\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}}\leq 2$

Spoiler

Mọi người cố gắng làm hết nhé.Sao chả thấy ai làm hình vậy  

[the man]

$\boxed{3}$

 

b,Cho các số thực dương a,b,c .Chứng minh rằng:$\sum \frac{a+b}{c+\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}}\leq 2$

Spoiler

Mọi người cố gắng làm hết nhé .Sao chả thấy ai làm hình vậy  

Ta có $\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}\geq a+b$ (có thể dùng biến đổi tương đương để chứng minh)     
$\Rightarrow \sum \frac{a+b}{c+\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}}\leq \sum \frac{a+b}{a+b+c}=2$

[the man]

$\boxed{3}$

Câu 1: (4,5 điểm)

a, Cho biểu thức :

$ A = [ \dfrac{ a - x }{ \sqrt{a} - \sqrt{x} } -\dfrac{ a \sqrt{a} - x \sqrt{x} }{ a - x }] [ \dfrac{( \sqrt{a} + \sqrt{x} )^2}{ a \sqrt{a}+x \sqrt{x}}] : (\sqrt[3]{\dfrac{7-5\sqrt{2}}{8}} +\sqrt[3]{\dfrac{7+5\sqrt{2}}{8} )}$
1) Rút gọn .A
2) TRong trường hợp A có nghĩa hãy so sánh ( có giải thích ) A với $A^{2011} $

 

$A=\frac{\sqrt{ax}}{a-\sqrt{ax}+x}$

Do $a-\sqrt{ax}+x\geq \sqrt{ax}\Rightarrow A\leq 1\Rightarrow A\geq A^{2011}$

[the man]

$\boxed{3}$

 

Câu 3: ( 2,5 điểm) Cho các số $a=111...11$( gồm 2012 chữ số 1), $b=1000...005$( trong đó có 2011 chữ số 0) và $T= \sqrt{ab+1}$ .CMR T là số nguyên .Hãy tìm số dư trong phép chia T cho 7

Ta có $9a+1=10^{2012}$;

          $ b=10^{2012}+5=9a+6$

          $\Rightarrow T=\sqrt{a(9a+6)+1}=3a+1$ là số nguyên

Do $10^6\equiv 1(mod7)\Rightarrow 10^{2012}=100.(10^6)^{335}\equiv 100\equiv 2(mod7)$

     $\Rightarrow 9x+1\equiv 2(mod7)\Rightarrow x\equiv 4(mod7)\Rightarrow 3x+1\equiv 13\equiv 6(mod7)$

                    $\Rightarrow A$ chia 7 dư 6

[the man]

$\boxed{3}$

Câu 2 : ( 3,0 điểm)

a,Giải hệ phuơng trình :
$\begin{cases} x (x^2+4y^2) =8y^4(y^2+1) \\ \sqrt{5x+6}+\sqrt{2y^2+7}=7\end{cases}$

 

a.Từ pt thứ nhất $\Rightarrow x>0\Rightarrow \sqrt{5x+6}+\sqrt{2y^2+7}\geq \sqrt{6}+\sqrt{7}>7$

   Hệ vô nghiệm

[hoanglong2k]

Câu 5:

Dễ thấy $x=0$ không phải là nghiệm chung của 2 phương trình

Gọi nghiệm chung là $x_0$ thì ta có:

$$P(x_0)=Q(x_0)=0$$

$$\Leftrightarrow x_0^4+ax_0^3+bx_0^2+cx_0+1=x_0^4+cx_0^3+bx_0^2+ax_0+1$$

$$\Leftrightarrow (a-c)x_0^3=(a-c)x_0$$

$$\Leftrightarrow x_0^2=1\Leftrightarrow x_0=\pm 1$$

 

Vậy nghiệm chung của 2 phương trình là $\pm 1$

[the man]

$\boxed{3}$

Câu 4 : ( 6,0 điểm) Trên đường tròn C tâm O, bán kính R vẽ dây AB < 2R.Từ A,Bvẽ các tiếp tuyến Ax,By với đường tròn C .Lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ AB .Gọi H,K,I lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống AB,Ax và By.

1) CMR: $MH^2 = MK.MI $
2) Gỉa sử AM cắt KH tại E,BM cắt HI tại F.CMF: EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK,MFI.
3) Gọi D là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK và MFI.CMR: khi M di chuyển trên cung nhỏ AB thì đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định .

Mình xin xung phong làm câu hình 

a.

  Dễ chứng minh $\widehat{MKH}=\widehat{MHI};\widehat{MHK}=\widehat{MIH}$

    $\Rightarrow \Delta KHM\sim \Delta HIM(g.g)\Rightarrow \frac{MH}{MK}=\frac{MI}{MH}\Leftrightarrow MH^2=MI.MK$

b.

 $\widehat{EMF}+\widehat{EHF}=\widehat{EMF}+\widehat{KHM}+\widehat{MHI}=\widehat{EMF}+\widehat{MBA}+\widehat{MAB}=180^{\circ}\Rightarrow EMFH$ là tứ giác nội tiếp

 $\Rightarrow \widehat{MEF}=\widehat{MHF}=\widehat{MBI}=\widehat{MAH}=\widehat{MKE}\Rightarrow EF$ là tiếp tuyến của đường tròn $(MEK)$

Tương tự $EF$ cũng là tiếp tuyến của đường tròn $(MFI) \Rightarrow$ đpcm

c.

  Gọi giao của $DM$ với $EF, AB$ lần lượt là $N,P$

 Do $EF$ là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn $(MEK),(MFI)$ nên $EN^2=NM.ND=NF^2\Rightarrow EN=NF$  $(1)$

 Do $\widehat{MEF}=\widehat{MAB}\Rightarrow EF\parallel AB\Rightarrow \frac{EN}{AP}=\frac{NF}{BP}\left ( =\frac{MN}{MP} \right )$ ( theo Ta-lét)                                                               $(2)$

   Từ $(1),(2)$ có $AP=PB \Rightarrow P$ cố định

              Vậy $DM$ đi qua trung điểm của $AB$   

P/s : các bạn thông cảm nhé , mình chưa biết cách vẽ hình   

[hoctrocuaZel]

a,Cho các số thực $a_1;a_2;...;a_{2011} \in [1;3]$ và thoả mãn :

$S=a_1^3+a_2^3+...+a_{2011}^3=12307 $
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$P=a_1+a_2+...+a_{2011} $

$x^3-13x+12=(x+4)(x-3)(x-1)\leqslant 0\Leftrightarrow x^3\leqslant 13x-12$

[congdaoduy9a]

a.Từ pt thứ nhất $\Rightarrow x>0\Rightarrow \sqrt{5x+6}+\sqrt{2y^2+7}\geq \sqrt{6}+\sqrt{7}>7$

   Hệ vô nghiệm

PT 1 $\Leftrightarrow (2y^{2}-x)(4y^{4}+2xy^{2}+x^{2}+4y^{2})=0$$\Leftrightarrow x=2y^{2}$

Thay vào 2 ta đc $\sqrt{5x+6}+\sqrt{x+7}=7$

giải pt này ta được x=2$\Rightarrow y=\pm 1$

Cái sai của bạn là$\sqrt{6}+\sqrt{7}> 7$

[the man]

PT 1 $\Leftrightarrow (2y^{2}-x)(4y^{4}+2xy^{2}+x^{2}+4y^{2})=0$$\Leftrightarrow x=2y^{2}$

Thay vào 2 ta đc $\sqrt{5x+6}+\sqrt{x+7}=7$

giải pt này ta được x=2$\Rightarrow y=\pm 1$

Cái sai của bạn là$\sqrt{6}+\sqrt{7}> 7$

Đúng òi.Mình nhầm 

[Dinh Xuan Hung]

Vì đề 3 mọi người cũng làm kha khá rồi nên mình sẽ đăng tiếp đề 4.Mọi người cùng làm đề 3+4 nhé

$\boxed{4}$

Câu 1: ( 4 điểm)

1.Cho hai số $x,y > 0$.Rút gọn biểu thức:
$A=\sqrt{\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} +\sqrt{x^4+y^4+\dfrac{x^4y^4}{(x^4+y^4)^2}}}$
2.Cho $x=\sqrt[3]{2-2\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2+2\sqrt{3}} ;y= \sqrt[3]{3-\sqrt{17}}+\sqrt[3]{3+\sqrt{17}} $.
Tính giá trị biểu thức :
$B=x^3-y^3+6x-6y+2013$
Câu 2: (4 điểm )
Cho hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 2ax^2+ay^2+2(x+y)=2b & & \\ y-x=b & & \end{matrix}\right.$ (1)(a,b là tham số)
1.Giải phương trinh (1) với $a=\dfrac{2}{3};b=3$
2.Tìm giá trị thực của b để hệ phương trình (1) có nghiệm với mọi số thực a.
Câu 3: ( 4 điểm)
1.Tìm tất cả các số tự nhiên n để $P=(n^2-2n+1)(n^2-2n+2)+1$ là số nguyên tố.
2.Giải phương trình nghiệm nguyên:$2y^3=2x^6+9x^4-2011$
Câu 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;r), với BC là đường kính cố định,điểm A thay đổi .Lấy điểm D đối xứng vơí A qua B .Kẻ $KM \perp BC(M \in BC)$.Đường thẳng DM cắt (O) tại P và Q ,AN cắt (O) tại điểm thứ hai K .CMR:
1.Điểm D di động trên một đường tròn cố định.
2.$DM \perp AN$
3.Tổng các bình phương các cạnh của tứ giác APKQ không đổi.
Câu 5: ( 2 điểm)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x,y,z là ba số thực thoả mãn:
$ax+by+cz+a+b+c=0$.Chứng minh rằng:
$xy+yz+zx+2x+2y+2z+3 \leq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 22-04-2015 - 21:15

[medokung]

tìm a,b,c nguyên dương thỏa mãn a!b! = a! + b! + c$^{2}$

[the man]

 

Câu 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;r), với BC là đường kính cố định,điểm A thay đổi .Lấy điểm D đối xứng vơí A qua B .Kẻ $KM \perp BC(M \in BC)$.Đường thẳng DM cắt (O) tại P và Q ,AN cắt (O) tại điểm thứ hai K .CMR:
1.Điểm D di động trên một đường tròn cố định.
2.$DM \perp AN$
3.Tổng các bình phương các cạnh của tứ giác APKQ không đổi.
 

đã có sự nhầm lẫn ko hề nhẹ 

[tranductucr1]

bài 19 : f(5)-f(3)=2010 ta có$f(7)-f(5)\vdots (7-5)$ và $f(3)-f(1)\vdots (3-1)$$=>f(7)-f(5)+f(3)-f(1) \vdots 2 $ hay f(7)-f(1) \vdots 2 $ suy ra f(7)-f(1) là hợp số$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 28-04-2015 - 21:16

[tranductucr1]

đặt a=n-1
 $a^{2}(a^{2}+1)=a^{4}+a^{2}+1=(a^{2}-a+1)(a^{2}+a+1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 28-04-2015 - 22:01

[kimchitwinkle]

Vì đề 3 mọi người cũng làm kha khá rồi nên mình sẽ đăng tiếp đề 4.Mọi người cùng làm đề 3+4 nhé

$\boxed{4}$

Câu 1: ( 4 điểm)

1.Cho hai số $x,y > 0$.Rút gọn biểu thức:
$A=\sqrt{\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} +\sqrt{x^4+y^4+\dfrac{x^4y^4}{(x^4+y^4)^2}}}$
2.Cho $x=\sqrt[3]{2-2\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2+2\sqrt{3}} ;y= \sqrt[3]{3-\sqrt{17}}+\sqrt[3]{3+\sqrt{17}} $.
Tính giá trị biểu thức :
$B=x^3-y^3+6x-6y+2013$
Câu 2: (4 điểm )
Cho hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 2ax^2+ay^2+2(x+y)=2b & & \\ y-x=b & & \end{matrix}\right.$ (1)(a,b là tham số)
1.Giải phương trinh (1) với $a=\dfrac{2}{3};b=3$
2.Tìm giá trị thực của b để hệ phương trình (1) có nghiệm với mọi số thực a.
Câu 3: ( 4 điểm)
1.Tìm tất cả các số tự nhiên n để $P=(n^2-2n+1)(n^2-2n+2)+1$ là số nguyên tố.
2.Giải phương trình nghiệm nguyên:$2y^3=2x^6+9x^4-2011$
Câu 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;r), với BC là đường kính cố định,điểm A thay đổi .Lấy điểm D đối xứng vơí A qua B .Kẻ $KM \perp BC(M \in BC)$.Đường thẳng DM cắt (O) tại P và Q ,AN cắt (O) tại điểm thứ hai K .CMR:
1.Điểm D di động trên một đường tròn cố định.
2.$DM \perp AN$
3.Tổng các bình phương các cạnh của tứ giác APKQ không đổi.
Câu 5: ( 2 điểm)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x,y,z là ba số thực thoả mãn:
$ax+by+cz+a+b+c=0$.Chứng minh rằng:
$xy+yz+zx+2x+2y+2z+3 \leq 0$

câu 1.2 : Ta tính $x ^3 = 4-6x$; $y^3 = -6y$. Thay vào B có: B = 4-6x+6y-9+6x-6y+2013 = 2008 .

P/s: ko tải được latex         

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 28-04-2015 - 22:01

[congdaoduy9a]

Câu 3: 2)Đặt $t=x^{2}$;$t\geq 0$, vì x nguyên nên t chính phương

$2y^3=2t^3+9t^2-2011 \leftrightarrow 8y^3=8t^3+36t^2-8044$

+ Xét $t\geq 15$ $\Rightarrow (2t)^3<8t^3+36t^2-8044<(2t+3)^3=8t^3+36t^2+54t+27$ nên $8t^{3}+36t^{2}-8044=(2t+1)^{3};(2t+2)^{3}$

 TH1:$8t^{3}+36t^{2}-8044=(2t+1)^{3}$

$24t^{2}-6t-8045=0$(vô nghiệm nguyên)

  TH2: tự làm nha

+Xét $t\leq 15$ : t chính phương $\Rightarrow t\epsilon \left \{ 0;1;4;9 \right \}$

Nghỉ lễ AE quẩy lên đê

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdaoduy9a: 01-05-2015 - 00:01

[Dinh Xuan Hung]

Đề Bài:Cho a,b,c>0 thỏa mãn:$\frac{4a}{b}\left ( 1+\frac{2c}{b} \right )+\frac{b}{a}\left ( 1+\frac{c}{a} \right )=6$.Tìm min $P=\frac{bc}{a(b+2c)}+2\left [ \frac{ac}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(2a+b)} \right ]$

Ta có các BĐT sau với mọi số dương:$8a^3+b^3\geq 2ab(2a+b)$

$ab\leq \frac{(2a+b)^2}{8}$

AM-GM:$\frac{4a}{b}+\frac{b}{a}\geq 4$

Ta có:$6=\frac{4a}{b}\left ( 1+\frac{2c}{b} \right )+\frac{b}{a}\left ( 1+\frac{c}{a} \right )=\left ( \frac{4a}{b}+\frac{b}{a} \right )+c\left ( \frac{8a^3+b^3}{a^2b^2} \right )\geq 4+c.\frac{2ab(2a+b)}{a^2b^2}\Leftrightarrow 1\geq c.\frac{2a+b}{ab}\geq c.\frac{8(2a+b)}{(2a+b)^2}\Leftrightarrow 2a+b\geq 8c$

Từ:$\frac{c(2a+b)}{ab}\leq 1\Leftrightarrow \frac{ab}{c(2a+b)}\geq 1$

Bất đẳng thức C-S:

$\frac{bc}{a(b+2c)}+\frac{2ac}{b(c+a)}=\frac{b^2c^2}{abc(b+2c)}+\frac{4a^2c^2}{abc(2c+2a)}\geq \frac{c^2(2a+b)^2}{abc(b+2a+4c)}\geq \frac{c(2a+b)^2}{\frac{3}{2}ab(3a+b)}= \frac{2c(2a+b)}{3ab}$

AM-GM:

$\frac{2c(2a+b)}{3ab}+\frac{2ab}{3c(2a+b)}\geq \frac{4}{3}$

$\frac{ab}{c(2a+b)}\geq 1\Leftrightarrow \frac{4ab}{3c(2a+b)}\geq \frac{4}{3}$

Từ đó suy ra:$P\geq \frac{8}{3}\Leftrightarrow b=2a=4c$

Chú ý:Để tránh gây sao trộn TOPIC thì bài viết này sẽ được ẩn sau một thời gian

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 01-05-2015 - 09:17