Chủ đề này có 3 trả lời

[yeutoanmaimai1]

Bài 1 Chứng minh $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ với $x,y>0$ và $xy=1$

Bai 2 Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$ Chứng minh $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$

Bài 3 Cho $a,b,c>0$ Tìm GTNN của $A=\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}$

[Dinh Xuan Hung]

Bài 1 Chứng minh $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ với $x,y>0$ và $xy=1$

 

Xét hiệu:$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}-\frac{2}{1+\sqrt{xy}}=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{xy}-x}{(1+x)(1+\sqrt{xy})}+\frac{\sqrt{xy}-y}{(1+y)(1+\sqrt{xy})}=\frac{\sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(1+y)(1+\sqrt{xy})}-\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(1+x)(1+\sqrt{xy})}=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\frac{\sqrt{y}}{(1+y)(1+\sqrt{xy})}-\frac{\sqrt{x}}{(1+x)(1+\sqrt{xy})})=(\sqrt{x}-\sqrt{y})\left [ \frac{\sqrt{y}+x\sqrt{y}-\sqrt{x}-\sqrt{x}y}{(1+x)(1+y)(1+\sqrt{xy})} \right ]=(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\left [\frac{\sqrt{xy}-1}{(1+x)(1+y)(1+\sqrt{xy})} \right ]\geq 0$

VÌ $xy\geq 1$

[Dinh Xuan Hung]

 

Bai 2 Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$ Chứng minh $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}=x & & & \\ \frac{c}{b}=y& & & \\ \frac{a}{c}=z& & & \end{matrix}\right.$.Không mất tính tổng quát giả sử z là số nhỏ nhất $xyz=1;\frac{1}{4}\leq x;y;z\leq 4$

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}+\frac{1}{1+\frac{a}{c}}=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}$

Áp dụng bài 1 :$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+z}=\frac{2}{1+\frac{1}{\sqrt{z}}}+\frac{1}{1+z}=\frac{2t}{t+1}+\frac{1}{1+t^2}$

Ta sẽ CM:$\frac{2t}{t+1}+\frac{1}{1+t^2}\geq \frac{22}{15}\Leftrightarrow (2t-1)(4t^2-9t+7)\geq 0$

[Dinh Xuan Hung]

 

Bài 3 Cho $a,b,c>0$ Tìm GTNN của $A=\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+2b+c=x & & & \\ a+b+2c=y& & & \\ a+b+3c=z& & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} z-y=c & & & \\ b=x+z-2y& & & \\ a+3c=2y-x& & & \end{matrix}\right.$

Khi đó $A=\frac{2y-x}{x}+\frac{4(x+z-2y)}{y}-\frac{8(z-y)}{z}=-17+\left ( 2\frac{y}{x}+4\frac{x}{y} \right )+\left ( 4\frac{z}{y} +8\frac{y}{z}\right )\geq -17+2\sqrt{2}$

DBXR khi $4x^2=2y^2=z^2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+2c=\sqrt{2}(a+2b+c) & & \\ a+b+3c=2(a+2b+c)& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=(1+\sqrt{2})a & & \\ c=(4+3\sqrt{2})a & & \end{matrix}\right.$