Cho $M=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2016}+(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2016}$
a, Chứng minh $M$ nguyên
b, Tìm chữ số tận cùng của $M$ (không dùng máy tính)
$M=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2016}+(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2016}$
Bắt đầu bởi yeutoanmaimai1, 13-03-2015 - 20:44
#2
Đã gửi 13-03-2015 - 21:56
the man
-
- Thành viên
-
- 589 Bài viết
Thiếu úy
a.Đăt $\sqrt{2}+\sqrt{3}=a;\sqrt{2}-\sqrt{3}=b\Rightarrow ab=-1$
Đặt $S_{n}=a^n+b^n$
Có $S_{2}=10; S_{4}=98$
$S_{n+4}=a^{n+4}+b^{n+4}=(a^{n+2}+b^{n+2})(a^2+b^2)-a^2b^2(a^n+b^n)=S_{n+2}.10-S_{n}$
$\Rightarrow M$ là số nguyên
b.$S_{n+4}+S_{n}=10.S_{n+2}\vdots 10$
Nên ta cũng có $S_{n+8}+S_{n+4}\vdots 10\Rightarrow S_{n}\equiv S_{n+8}(mod10) \Rightarrow S_{2016}\equiv S_{0}\equiv 2(mod 10)$
$\Rightarrow M$ tận cùng là $2$
- yeutoanmaimai1 yêu thích
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
#3
Đã gửi 13-03-2015 - 21:57
the man
-
- Thành viên
-
- 589 Bài viết
Thiếu úy
a.Đăt $\sqrt{2}+\sqrt{3}=a;\sqrt{2}-\sqrt{3}=b\Rightarrow ab=-1$
Đặt $S_{n}=a^n+b^n$
Có $S_{2}=10; S_{4}=98$
$S_{n+4}=a^{n+4}+b^{n+4}=(a^{n+2}+b^{n+2})(a^2+b^2)-a^2b^2(a^n+b^n)=S_{n+2}.10-S_{n}$
$\Rightarrow M$ là số nguyên
b.$S_{n+4}+S_{n}=10.S_{n+2}$
Nên ta cũng có $S_{n+8}+S_{n+4}\vdots 10\Rightarrow S_{n}\equiv S_{n+8}(mod10) \Rightarrow S_{2016}\equiv S_{0}\equiv 2(mod 10)$
$\Rightarrow M$ tận cùng là $2$
- yeutoanmaimai1 yêu thích
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
