Cho a,b,c là các số dương thõa mãn ab+bc+ca=3
#1
Đã gửi 13-03-2015 - 22:59
- nguyenhongsonk612 yêu thích
#2
Đã gửi 13-03-2015 - 23:24
Theo BĐT $AM-GM$ ta có
$3=ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}\Leftrightarrow abc\leq 1$
Khi đó ta có
$\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \sum \frac{1}{abc+a^2b+a^2c}=\sum \frac{1}{a(ab+bc+ca)}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \frac{ab+bc+ca}{abc} \end{pmatrix}=\frac{1}{abc}$
$\Rightarrow$ Đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
- Chung Anh và nguyenkhai29 thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#3
Đã gửi 14-03-2015 - 08:40
AM-GM:$ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}\Leftrightarrow abc\leq 1$
$\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}=\sum\frac{1}{1+a(ab+ac)}=\sum \frac{1}{1+a(3-bc)}=\sum \frac{1}{1+3a-abc}\leq \frac{1}{3}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\frac{1}{3}\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{abc}$
#4
Đã gửi 14-03-2015 - 13:07
Theo BĐT $AM-GM$ ta có
$3=ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}\Leftrightarrow abc\leq 1$
Khi đó ta có
$\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \sum \frac{1}{abc+a^2b+a^2c}=\sum \frac{1}{a(ab+bc+ca)}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \frac{ab+bc+ca}{abc} \end{pmatrix}=\frac{1}{abc}$
$\Rightarrow$ Đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Mình đưa ra ý tưởng sau đây :
$\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}\leq \frac{8}{3(a^{2}+3)(b+c)}$
- nguyenhongsonk612 và nguyenkhai29 thích
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: chứng minh bất đẳng thức
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b}\geqslant\frac{5}{2}$Bắt đầu bởi thuvitoanhoc, 10-07-2021 chứng minh bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh BĐTBắt đầu bởi Monkey Moon, 27-02-2019 đại số, toán 9 và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
ĐẠI SỐ NÂNG CAO:Bắt đầu bởi Napolli, 13-12-2018 chứng minh bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
Phương tìnhBắt đầu bởi luonghien12903, 02-12-2018 chứng minh đại số, bất đẳng thức và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh BĐTBắt đầu bởi WYS, 17-10-2018 bất đẳng thức và . |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh